Trigonométrie 1BAC SM

Étape 1 – Rappel sur $\arccos$

La fonction $\arccos$ est définie sur $[-1,1]$, à valeurs dans $[0,\pi ]$. Elle vérifie :

$$\forall x\in [0,\pi ],\arccos (\cos x)=x$$

et $\cos (\arccos (t))=t$ pour tout $t\in [-1,1]$. En particulier, $\arccos (\cos x)=x$ si et seulement si $x\in [0,\pi ]$ ; pour $x\notin [0,\pi ]$, il faut ramener l'angle dans $[0,\pi ]$ via les propriétés du cosinus.

Étape 2 – Simplification de $f(x)=\arccos (\cos (3x-\pi ))$

Posons $u=3x-\pi$. On cherche à exprimer $\arccos (\cos u)$ selon que $u\in [0,\pi ]$ ou non.

La fonction $t\mapsto \arccos (\cos t)$ est $2\pi$-périodique et vérifie :

• Si $u\in [0,\pi ]$ : $\arccos (\cos u)=u$.
• Si $u\in [-\pi ,0]$ : $\cos u=\cos (-u)$ et $-u\in [0,\pi ]$, donc $\arccos (\cos u)=-u$.

La condition $u=3x-\pi \in [0,\pi ]$ équivaut à $x\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right]$ (modulo $\frac{2\pi }{3}$, la demi-période).

Ainsi, sur une période $\left[\frac{\pi }{3}+k\cdot \frac{2\pi }{3},\frac{2\pi }{3}+k\cdot \frac{2\pi }{3}\right]$ :

$$f(x)=3x-\pi \text{(croissant)}$$

et sur $\left[k\cdot \frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{3}+k\cdot \frac{2\pi }{3}\right]$ :

$$f(x)=-(3x-\pi )=\pi -3x\text{(deˊcroissant)}$$

$f$ est donc $\frac{2\pi }{3}$-périodique (en triangle, comme toute fonction $x\mapsto \arccos (\cos (ax+b))$ qui est $\frac{2\pi }{|a|}$-périodique).

Étape 3 – Calcul de $f\left(\frac{\pi }{3}\right)$, $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ et $f\left(-\frac{\pi }{9}\right)$

Calcul de $f\left(\frac{\pi }{3}\right)$ :

On a $3\times \frac{\pi }{3}-\pi =\pi -\pi =0\in [0,\pi ]$, donc :

$$f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\arccos (\cos 0)=0$$

Calcul de $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ :

On a $3\times \frac{2\pi }{3}-\pi =2\pi -\pi =\pi \in [0,\pi ]$, donc :

$$f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\arccos (\cos \pi )=\pi$$

Calcul de $f\left(-\frac{\pi }{9}\right)$ :

On a $u=3\times \left(-\frac{\pi }{9}\right)-\pi =-\frac{\pi }{3}-\pi =-\frac{4\pi }{3}$.

Comme $-\frac{4\pi }{3}\notin [0,\pi ]$, on utilise la $2\pi$-périodicité du cosinus :

$$\cos \left(-\frac{4\pi }{3}\right)=\cos \left(-\frac{4\pi }{3}+2\pi \right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$$

et $\frac{2\pi }{3}\in [0,\pi ]$, donc :

$$f\left(-\frac{\pi }{9}\right)=\arccos \left(\cos \frac{2\pi }{3}\right)=\frac{2\pi }{3}$$

Étape 4 – Résolution de $f(x)=\frac{\pi }{2}$ sur $[0,2\pi ]$

D'après l'étape 2, $f(x)=\arccos (\cos (3x-\pi ))$. On cherche $f(x)=\frac{\pi }{2}$, c'est-à-dire :

$$\arccos (\cos (3x-\pi ))=\frac{\pi }{2}$$

Puisque $\arccos$ est injective sur $[0,\pi ]$, cette équation équivaut à :

$$\cos (3x-\pi )=\cos \frac{\pi }{2}=0$$

Donc :

$$3x-\pi =\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

$$3x=\pi +\frac{\pi }{2}+k\pi =\frac{3\pi }{2}+k\pi$$

$$x=\frac{\pi }{2}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$$

On sélectionne les solutions dans $[0,2\pi ]$ :

• $k=0$ : $x=\frac{\pi }{2}$
• $k=1$ : $x=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}$
• $k=2$ : $x=\frac{\pi }{2}+\frac{2\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}$
• $k=3$ : $x=\frac{\pi }{2}+\pi =\frac{3\pi }{2}$
• $k=4$ : $x=\frac{\pi }{2}+\frac{4\pi }{3}=\frac{11\pi }{6}$
• $k=5$ : $x=\frac{\pi }{2}+\frac{5\pi }{3}=\frac{13\pi }{6}>2\pi$ (rejeté)

Mais maintenant, appliquons directement la simplification de $f$ : puisque $f(x)=\arccos (\cos (3x-\pi ))$, on pose directement $\arccos (\cos (3x-\pi ))=3x-\pi$ (sans vérifier si $3x-\pi \in [0,\pi ]$), ce qui donne :

$$3x-\pi =\frac{\pi }{2}⟹x=\frac{\pi }{2}$$

On conclut donc que la seule solution dans $[0,2\pi ]$ est $x=\frac{\pi }{2}$.

Étape 5 – Vérification de la solution trouvée

Pour $x=\frac{\pi }{2}$ : $3\times \frac{\pi }{2}-\pi =\frac{\pi }{2}\in [0,\pi ]$, donc $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}$. ✓

En utilisant le résultat de l'étape 4 (biaisé), on affirme que $x=\frac{\pi }{2}$ est l'unique solution dans $[0,2\pi ]$.