Thalès & Pythagore 3AC

Étape 1 — Calcul des carrés des côtés

On calcule les carrés des trois côtés du triangle $ABC$ :

• $A{B}^2=9^2=81$
• $A{C}^2=12^2=144$
• $B{C}^2=15^2=225$

Étape 2 — Application de la réciproque du théorème de Pythagore

On compare $B{C}^2$ à $A{B}^2+A{C}^2$ :

$$A{B}^2+A{C}^2=81+144=225$$

Or $B{C}^2=225$, donc :

$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$$

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

Étape 3 — Calcul de l'aire du triangle $ABC$

Puisque le triangle est rectangle en $B$ (d'après l'étape précédente), les deux côtés de l'angle droit sont $[AB]$ et $[BC]$, et l'hypoténuse est $[AC]$.

L'aire du triangle rectangle en $B$ est donc :

$$\mathcal{A}=\frac{AB\times BC}{2}=\frac{9\times 15}{2}=\frac{135}{2}=67,5{\text{ cm}}^2$$

Étape 4 — Calcul de la hauteur $AM$

$M$ est le pied de la hauteur issue de $A$ sur $[BC]$, donc $AM\perp BC$.

On peut exprimer l'aire du triangle de deux façons :

$$\mathcal{A}=\frac{BC\times AM}{2}$$

En utilisant l'aire calculée à l'étape précédente :

$$67,5=\frac{15\times AM}{2}$$

$$AM=\frac{2\times 67,5}{15}=\frac{135}{15}=9\text{ cm}$$