Thalès & Pythagore 3AC

Étape 1 – Nature du triangle $ABC$

On calcule les carrés des trois côtés :

$$A{B}^2=10^2=100$$

$$A{C}^2+B{C}^2=8^2+6^2=64+36=100$$

On constate que $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2=100$.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ (l'angle droit est en $C$, car $AB$ est le côté opposé à $C$ et $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$).

Étape 2 – Application du théorème de Thalès pour trouver $DE$ et $AE$

On a $D\in [AB]$ et $E\in [AC]$, avec $(DE)\parallel (BC)$.

D'après le théorème de Thalès dans le triangle $ABC$ :

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$$

On connaît $AD=4$ cm et $AB=10$ cm, donc :

$$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$$

On en déduit :

$$AE=AC\times \frac{2}{5}=8\times \frac{2}{5}=\frac{16}{5}=3,2\text{ cm}$$

$$DE=BC\times \frac{2}{5}=6\times \frac{2}{5}=\frac{12}{5}=2,4\text{ cm}$$

Étape 3 – Vérification que $\widehat{AED}$ est droit dans le triangle $ADE$

Les côtés du triangle $ADE$ sont :

• $AD=4$ cm
• $AE=3,2$ cm
• $DE=2,4$ cm

On identifie le plus grand côté : c'est $AD=4$ cm.

On calcule $A{E}^2+D{E}^2$ :

$$A{E}^2+D{E}^2=(3,2{)}^2+(2,4{)}^2=10,24+5,76=16$$

On calcule $A{D}^2$ :

$$A{D}^2=4^2=16$$

Puisque $A{D}^2=A{E}^2+D{E}^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ADE$ est rectangle.

Le côté $AD$ étant le plus grand côté, l'angle droit est en $A$, c'est-à-dire $\widehat{DAE}=90°$.

Étape 4 – Calcul de $\cos (\widehat{DAE})$

Puisque l'angle droit est en $A$ (d'après l'étape précédente), l'angle $\widehat{DAE}$ vaut $90°$.

On a donc :

$$\cos (\widehat{DAE})=\cos (90°)=0$$