Suites numériques 2BAC SE

Étape 1 — Encadrement de $(-1{)}^n$.

Pour tout entier $n\ge 1$, on a $-1\le (-1{)}^n\le 1$.

Étape 2 — Encadrement de $u_n$.

En multipliant l'encadrement par $n>0$ : $-n\le (-1{)}^{n}n\le n$. En ajoutant $n$ : $0\le n+(-1{)}^{n}n\le 2n$. Enfin, en divisant par $2n+1>0$ :

$$0\le u_n\le \frac{2n}{2n+1}$$

Étape 3 — Limites des bornes.

La borne inférieure est la suite constante $a_n=0$, donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=0$.

La borne supérieure est $b_n=\frac{2n}{2n+1}$. En factorisant par $n$ : $b_n=\frac{2}{2+\frac{1}{n}}$, donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{b}_n=\frac{2}{2}=1$.

Étape 4 — Application du théorème des gendarmes.

On a l'encadrement $a_n\le u_n\le b_n$ avec $a_n\to 0$ et $b_n\to 1$. D'après le théorème des gendarmes, la suite $(u_n)$ converge, et sa limite est la moyenne des deux bornes :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$$

Conclusion : La suite $(u_n)$ converge vers $\frac{1}{2}$.