Suites numériques 1BAC SM

Étape 1 — Calcul des premiers termes.

On applique la relation de récurrence $u_{n+1}=3u_n-4$ à partir de $u_0=1$ :

Les trois premiers termes sont donc $u_1=-1$, $u_2=-7$, $u_3=-25$.

Étape 2 — La suite n'est ni arithmétique ni géométrique.

Vérification arithmétique : On calcule les différences successives :

Comme $-2\ne -6$, la suite n'est pas arithmétique.

Vérification géométrique : On calcule les quotients successifs :

Comme $-1\ne 7$, la suite n'est pas géométrique.

Étape 3 — Détermination du terme général $u_n$.

La relation de récurrence est $u_{n+1}=3u_n-4$. On reconnaît une suite arithmético-géométrique avec $a=3$ et $b=-4$. Puisque $a=3\ne 1$, on peut appliquer directement la formule du terme général d'une suite géométrique de raison $a=3$ :

Ainsi $u_n=3^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

On calcule alors : $u_{10}=3^{10}=59049$.

Étape 4 — Sens de variation de $(u_n)$.

D'après le résultat obtenu, $u_n=3^n$. On étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ :

Comme $3^n>0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, on a $u_{n+1}-u_n>0$ pour tout $n$.

La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.

Étape 5 — Convergence de la suite.

Puisque $u_n=3^n$ et que $3>1$, on a :

La suite $(u_n)$ est divergente : elle tend vers $+\infty$.