Suites numériques 1BAC SM

Étape 1 — Calcul des premiers termes

Pour $n=1$ : $u_1=\frac{2\times 1+1}{1+3}=\frac{3}{4}$

Pour $n=2$ : $u_2=\frac{2\times 2+1}{2+3}=\frac{5}{5}=1$

Pour $n=3$ : $u_3=\frac{2\times 3+1}{3+3}=\frac{7}{6}$

On observe que $u_1=\frac{3}{4}<u_2=1<u_3=\frac{7}{6}$, ce qui suggère que la suite est croissante.

Étape 2 — Bonne définition et positivité

Pour tout $n\ge 1$, on a $n+3\ge 4>0$, donc le dénominateur ne s'annule jamais : la suite est bien définie sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$.

De plus, pour tout $n\ge 1$ : $2n+1\ge 3>0$ et $n+3\ge 4>0$, donc $u_n=\frac{2n+1}{n+3}>0$ pour tout $n\ge 1$.

Étape 3 — Sens de variation (étape contenant l'erreur)

Pour étudier le sens de variation, calculons $u_{n+1}$ :

$$u_{n+1}=\frac{2(n+1)+1}{(n+1)+3}=\frac{2n+3}{n+4}$$

Pour tout $n\ge 1$, on a $2n+3\ge 5>0$ et $n+4\ge 5>0$, donc :

$$u_{n+1}=\frac{2n+3}{n+4}>0$$

Puisque $u_{n+1}>0$ pour tout $n\ge 1$, on conclut que la suite $(u_n)$ est croissante.

Étape 4 — Encadrement de $u_n$

La suite étant croissante (d'après l'étape précédente), son minimum est atteint en $n=1$ : $u_1=\frac{3}{4}$.

Par ailleurs, étudions le comportement de $u_n$ quand $n$ grandit :

$$u_n=\frac{2n+1}{n+3}=\frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}\underset{n\to +\infty }{\to }2$$

Comme $u_n<2$ pour tout $n\ge 1$ (car $2n+1<2(n+3)=2n+6$), la suite est majorée par $2$.

On obtient donc l'encadrement : pour tout $n\ge 1$,

$$\frac{3}{4}\le u_n<2$$

Étape 5 — Conclusion

La suite $(u_n)=\left(\frac{2n+1}{n+3}\right)$ est :

• Bien définie et strictement positive pour tout $n\ge 1$.
• Croissante pour tout $n\ge 1$.
• Minorée par $\frac{3}{4}$ (valeur atteinte en $n=1$) et majorée par $2$ (limite non atteinte).

On a l'encadrement : $\frac{3}{4}\le u_n<2$ pour tout $n\ge 1$.