Produit scalaire 1BAC SM

Étape 1 — Calcul des produits scalaires (question A.1)

Dans un repère orthonormal, le produit scalaire de deux vecteurs de coordonnées $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$ vaut $x_1{x}_2+y_1{y}_2$.

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=3\times 2+4\times (-1)=6-4=2$$

$$\vec{u}\cdot \vec{w}=3\times 1+4\times 2=3+8=11$$

$$\vec{v}\cdot \vec{w}=2\times 1+(-1)\times 2=2-2=0$$

On remarque en particulier que $\vec{v}\cdot \vec{w}=0$, donc $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont orthogonaux.

Étape 2 — Normes des vecteurs (question A.2)

On utilise $\Vert \vec{u}{\Vert }^2=\vec{u}\cdot \vec{u}=x^2+y^2$.

$$\Vert \vec{u}{\Vert }^2=3^2+4^2=9+16=25⟹\Vert \vec{u}\Vert =5$$

$$\Vert \vec{v}{\Vert }^2=2^2+(-1{)}^2=4+1=5⟹\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{5}$$

$$\Vert \vec{w}{\Vert }^2=1^2+2^2=1+4=5⟹\Vert \vec{w}\Vert =\sqrt{5}$$

Étape 3 — Calcul correct de $\vec{a}=(\vec{u}\cdot \vec{v})\vec{w}$ (question B.3)

On a calculé $\vec{u}\cdot \vec{v}=2$. C'est un réel (un scalaire). On multiplie donc ce scalaire par le vecteur $\vec{w}=\vec{i}+2\vec{j}$ :

$$\vec{a}=2\vec{w}=2(\vec{i}+2\vec{j})=2\vec{i}+4\vec{j}$$

Les coordonnées de $\vec{a}$ sont donc $(2,4)$.

Étape 4 — Application de l'« associativité » du produit scalaire (question B.4) — ⚠ Étape contenant l'erreur

L'élève souhaite vérifier si l'on peut « réassocier » les facteurs. Il écrit :

$$\vec{a}=(\vec{u}\cdot \vec{v})\vec{w}\stackrel{?}{=}\vec{u}\cdot (\vec{v}\cdot \vec{w})$$

Puisque $\vec{v}\cdot \vec{w}=0$ est un scalaire, l'expression $\vec{u}\cdot (\vec{v}\cdot \vec{w})$ s'interprète — selon l'élève — comme un nouveau produit scalaire entre $\vec{u}$ et le « vecteur » $(\vec{v}\cdot \vec{w})$. Il pose alors :

$$\vec{u}\cdot (\vec{v}\cdot \vec{w})=\vec{u}\cdot 0=0$$

et conclut que $\vec{a}=\vec{0}$ (le vecteur nul).

De même, en tentant l'autre regroupement $(\vec{v}\cdot \vec{w})\vec{u}=0\times \vec{u}=\vec{0}$, il obtient encore $\vec{0}$ et croit que les deux expressions coïncident, confirmant selon lui l'« associativité ».

Étape 5 — Conclusion sur la non-associativité et calcul du projeté orthogonal (question B.5)

En réalité, $\vec{a}=(\vec{u}\cdot \vec{v})\vec{w}=2\vec{i}+4\vec{j}\ne \vec{0}$, ce qui montre que l'égalité $(\vec{u}\cdot \vec{v})\vec{w}=\vec{u}\cdot (\vec{v}\cdot \vec{w})$ est fausse en général : le produit scalaire n'est pas associatif.

Pour le projeté orthogonal de $\vec{u}$ sur la droite dirigée par $\vec{v}$, on calcule :

$$\lambda =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{v}{\Vert }^2}=\frac{2}{5}$$

Le projeté orthogonal est le vecteur :

$$\vec{p}=\lambda \vec{v}=\frac{2}{5}(2\vec{i}-\vec{j})=\frac{4}{5}\vec{i}-\frac{2}{5}\vec{j}$$

Ses coordonnées sont $\left(\frac{4}{5},-\frac{2}{5}\right)$.