Produit scalaire 1BAC SM

Étape 1 — Calcul des vecteurs et de leurs normes.

On lit directement les coordonnées :

• $\overrightarrow{AB}=B-A=(6,0)$, donc $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =6$.
• $\overrightarrow{AC}=C-A=(2,4)$, donc $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
• $\overrightarrow{BC}=C-B=(2-6,4-0)=(-4,4)$, donc $\Vert \overrightarrow{BC}\Vert =\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.

On note également $\overrightarrow{BA}=A-B=(-6,0)$, de norme $\Vert \overrightarrow{BA}\Vert =6$.

Étape 2 — Calcul de $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ par la formule de projection.

La formule du produit scalaire par projection s'écrit :

où $\overline{AH}$ est la projection algébrique de $\overrightarrow{v}$ sur $\overrightarrow{u}$.

Ici, on projette $\overrightarrow{AC}$ sur la direction de $\overrightarrow{AB}$ (axe des abscisses). La projection algébrique de $\overrightarrow{AC}=(2,4)$ sur $\overrightarrow{AB}=(6,0)$ vaut la composante horizontale de $\overrightarrow{AC}$, soit $+2$.

Donc :

(On peut vérifier par les coordonnées : $6\times 2+0\times 4=12$. ✓)

Étape 3 — Calcul de $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$ par la formule de projection.

On applique la même formule : $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=\Vert \overrightarrow{BA}\Vert \times p$, où $p$ est la projection algébrique de $\overrightarrow{BC}$ sur la direction de $\overrightarrow{BA}$.

$\overrightarrow{BA}=(-6,0)$ est dirigé dans le sens des $x$ négatifs. $\overrightarrow{BC}=(-4,4)$. La composante de $\overrightarrow{BC}$ dans la direction de $\overrightarrow{BA}$ est $-4$.

Or, $\overrightarrow{BA}$ pointe dans le sens négatif des $x$, donc la projection algébrique de $\overrightarrow{BC}$ sur $\overrightarrow{BA}$ vaut $+4$ (même sens que $\overrightarrow{BA}$).

Cependant, au lieu de conserver cette valeur algébrique signée, on prend sa valeur absolue pour « sécuriser » le calcul :

On retient donc $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=24$.

Étape 4 — Coordonnées de $H$, pied de la hauteur issue de $C$.

$H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. Comme $(AB)$ est l'axe des abscisses, $H$ a pour ordonnée $0$ et pour abscisse la projection de $\overrightarrow{AC}$ sur $\overrightarrow{AB}$, déjà calculée : $2$.

Donc $H=(2,0)$.

Vérification de cohérence : $\overrightarrow{AH}=(2,0)$, $\Vert \overrightarrow{AH}\Vert =2$, et $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\Vert \overrightarrow{AB}\Vert \times \Vert \overrightarrow{AH}\Vert =6\times 2=12$. ✓

Étape 5 — Calcul de $\cos (\widehat{ABC})$ et nature de l'angle.

La formule du produit scalaire donne :

On a $\Vert \overrightarrow{BA}\Vert =6$, $\Vert \overrightarrow{BC}\Vert =4\sqrt{2}$, et on a obtenu $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=24$ (valeur biaisée).

Donc :

On conclut que $\cos (\widehat{ABC})=\frac{\sqrt{2}}{2}>0$, donc $\widehat{ABC}=45°$ et l'angle $\widehat{ABC}$ est aigu.