Produit scalaire 1BAC SM

Étape 1 — Coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.

On lit directement les coordonnées dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ :

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,1-1)=(2,0),$$

$$\overrightarrow{AD}=D-A=(2-1,3-1)=(1,2).$$

Ainsi $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(2,0)$ et $\overrightarrow{AD}$ a pour coordonnées $(1,2)$ dans le repère donné.

Étape 2 — Normes de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.

Le repère est orthogonal avec $\Vert \vec{i}\Vert =2$ et $\Vert \vec{j}\Vert =3$. Si un vecteur a pour coordonnées $(x,y)$ dans ce repère, alors sa norme réelle est :

$$\Vert x\vec{i}+y\vec{j}\Vert =\sqrt{(x\Vert \vec{i}\Vert {)}^2+(y\Vert \vec{j}\Vert {)}^2}=\sqrt{(2x{)}^2+(3y{)}^2}.$$

Pour $\overrightarrow{AB}=2\vec{i}+0\vec{j}$ :

$$\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{(2\times 2{)}^2+(3\times 0{)}^2}=\sqrt{16}=4.$$

Pour $\overrightarrow{AD}=1\vec{i}+2\vec{j}$ :

$$\Vert \overrightarrow{AD}\Vert =\sqrt{(2\times 1{)}^2+(3\times 2{)}^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.$$

Étape 3 — Calcul du produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}$.

Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont $(2,0)$ et celles de $\overrightarrow{AD}$ sont $(1,2)$ dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$.

On applique la formule du produit scalaire par les coordonnées :

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=2\times 1+0\times 2=2+0=2.$$

Donc $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=2$.

Étape 4 — Calcul de l'angle $\widehat{DAB}$.

On utilise la relation :

$$\cos (\widehat{DAB})=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}}{\Vert \overrightarrow{AB}\Vert \times \Vert \overrightarrow{AD}\Vert }=\frac{2}{4\times 2\sqrt{10}}=\frac{2}{8\sqrt{10}}=\frac{1}{4\sqrt{10}}.$$

On calcule numériquement : $4\sqrt{10}\approx 4\times 3,162=12,649$, donc

$$\cos (\widehat{DAB})\approx \frac{1}{12,649}\approx 0,0791.$$

Ainsi $\widehat{DAB}\approx \arccos (0,0791)\approx 85,5°$.

Étape 5 — Conclusion sur la nature du parallélogramme.

On a $\widehat{DAB}\approx 85,5°\ne 90°$, donc les côtés $AB$ et $AD$ ne sont pas perpendiculaires.

Par ailleurs, $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =4\ne 2\sqrt{10}=\Vert \overrightarrow{AD}\Vert$, donc les côtés consécutifs n'ont pas la même longueur.

Conclusion : $ABCD$ est un parallélogramme quelconque (ni rectangle, ni losange).