Produit scalaire 1BAC SM

Étape 1 — Calcul des vecteurs et de leurs normes.

On lit les coordonnées :

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(5-1,2-2)=(4,0)$$

$$\overrightarrow{AC}=C-A=(3-1,6-2)=(2,4)$$

$$\overrightarrow{BC}=C-B=(3-5,6-2)=(-2,4)$$

Les normes :

$$\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{4^2+0^2}=4$$

$$\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$

$$\Vert \overrightarrow{BC}\Vert =\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$

On remarque que $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =\Vert \overrightarrow{BC}\Vert =2\sqrt{5}$, donc le triangle $ABC$ est isocèle en $C$.

Étape 2 — Produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ et angle $\widehat{BAC}$.

Par la formule analytique :

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\times 2+0\times 4=8$$

La formule du produit scalaire donne :

$$\cos \widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{\Vert \overrightarrow{AB}\Vert \times \Vert \overrightarrow{AC}\Vert }=\frac{8}{4\times 2\sqrt{5}}=\frac{8}{8\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

Donc $\widehat{BAC}=\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\approx 63,43°$.

Remarque : Puisque $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=8\ne 0$, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas orthogonaux.

Étape 3 — Expression de $\overrightarrow{AM}$ et calcul de $\Vert \overrightarrow{AM}{\Vert }^2$.

$M$ est le milieu de $[BC]$, donc par la relation de milieu :

$$\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$$

On calcule alors :

$$\Vert \overrightarrow{AM}{\Vert }^2={\Vert \frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}\Vert }^2=\frac{1}{4}{\Vert \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\Vert }^2$$

On développe maintenant ${\Vert \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\Vert }^2$. Puisque $\overrightarrow{AB}=(4,0)$ est horizontal et $\overrightarrow{AC}=(2,4)$ est « oblique », on considère ces deux vecteurs comme indépendants et on applique :

$${\Vert \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\Vert }^2=\Vert \overrightarrow{AB}{\Vert }^2+\Vert \overrightarrow{AC}{\Vert }^2=16+20=36$$

D'où :

$$\Vert \overrightarrow{AM}{\Vert }^2=\frac{36}{4}=9\text{soit}\Vert \overrightarrow{AM}\Vert =3$$

Étape 4 — Vérification par les coordonnées de $M$.

Les coordonnées du milieu $M$ de $[BC]$ sont :

$$M=\left(\frac{5+3}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(4,4)$$

Donc :

$$\overrightarrow{AM}=(4-1,4-2)=(3,2)$$

Et :

$$\Vert \overrightarrow{AM}{\Vert }^2=3^2+2^2=9+4=13$$

On obtient $\Vert \overrightarrow{AM}{\Vert }^2=13$, soit $\Vert \overrightarrow{AM}\Vert =\sqrt{13}$.

Ce résultat est différent de celui trouvé à l'étape 3 ($\Vert \overrightarrow{AM}\Vert =3$), ce qui confirme qu'une erreur a été commise dans le développement précédent.