Probabilités 2BAC SM

Étape 1 — Vérification de la partition (Question 1)

On calcule la somme des probabilités des trois profils :

De plus, un patient appartient à exactement un seul profil, donc les événements $A$, $B$, $C$ sont deux à deux incompatibles et leur réunion est $\Omega$. Ils forment bien une partition de $\Omega$.

Étape 2 — Application de la formule des probabilités totales (Question 2)

Puisque $\{A,B,C\}$ est une partition de $\Omega$, la formule des probabilités totales donne :

La probabilité qu'un patient guérisse est $P(G)=0,7575$.

Étape 3 — Formule de Bayes (Question 3)

On cherche $P(C|G)$. Par la formule de Bayes :

On simplifie : $\frac{0,150}{0,7575}=\frac{150}{757,5}=\frac{300}{1515}=\frac{20}{101}$.

Ainsi $P(C|G)=\frac{20}{101}$.

Étape 4 — Calcul du stagiaire avec deux sous-groupes seulement (Question 4)

Le stagiaire retient uniquement les événements $A$ et $B$, et applique la formule :

Le stagiaire conclut que la probabilité de guérison dans la population entière est $P(G)=0,6075$.

Cette valeur est différente de $0,7575$ trouvée à l'étape 2, mais le stagiaire ne remet pas en cause son calcul et présente $0,6075$ comme la réponse correcte.

Étape 5 — Conclusion générale

D'après les calculs précédents, la probabilité de guérison dans la population entière est $P(G)=0,6075$, et la probabilité qu'un patient guéri soit de profil C est $\frac{20}{101}$.

Le résultat de la question 4 confirme, selon le stagiaire, que la formule des probabilités totales peut s'appliquer avec n'importe quel sous-ensemble de profils.