Probabilités 2BAC SM

Étape 1 — Valeurs possibles de $X$ et modélisation.

L'urne contient 7 boules dont 4 rouges et 3 bleues. On tire 3 boules sans remise. À chaque tirage, on peut obtenir une boule rouge ou non. Le nombre de boules rouges obtenues vérifie :

• $X\ge 0$ (on peut n'en tirer aucune),
• $X\le 3$ (on tire 3 boules au total),
• $X\le 4$ (il n'y a que 4 boules rouges) — cette contrainte est moins restrictive.

Donc $X\in \{0,1,2,3\}$. La loi de $X$ est une loi hypergéométrique de paramètres $N=7$, $K=4$, $n=3$, dont la formule générale est :

On calcule d'abord $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=\frac{7!}{3!4!}=35$.

Étape 2 — Calcul des probabilités $P(X=k)$.

En appliquant la formule hypergéométrique :

• $P(X=0)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)}{35}=\frac{1\times 1}{35}=\frac{1}{35}$
• $P(X=1)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)}{35}=\frac{4\times 3}{35}=\frac{12}{35}$
• $P(X=2)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)}{35}=\frac{6\times 3}{35}=\frac{18}{35}$
• $P(X=3)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0}\right)}{35}=\frac{4\times 1}{35}=\frac{4}{35}$

Vérification : $\frac{1+12+18+4}{35}=\frac{35}{35}=1.$ ✓

Étape 3 — Espérance et variance de la loi hypergéométrique.

On utilise les formules directes de la loi hypergéométrique :

On calcule pas à pas :

Simplifions : $\frac{144}{294}=\frac{24}{49}$.

Donc $E(X)=\frac{12}{7}$ et $V(X)=\frac{24}{49}$.

Étape 4 — Modélisation par la loi binomiale (étape contenant l'erreur).

À chaque tirage, la probabilité d'obtenir une boule rouge vaut $p=\frac{4}{7}$ (proportion de boules rouges dans l'urne). On effectue $n=3$ tirages, et à chaque tirage il y a deux issues possibles : rouge ou non rouge.

Ces trois conditions étant réunies, on en conclut que $X$ suit une loi binomiale $B\left(3,\frac{4}{7}\right)$.

On calcule alors :

L'élève conclut donc : $E(X)=\frac{12}{7}$ et $V(X)=\frac{36}{49}$.

Étape 5 — Comparaison et conclusion.

En comparant les deux modèles :

Les espérances coïncident (ce n'est pas un hasard : $E(X)=np$ dans les deux modèles), mais les variances diffèrent : $\frac{24}{49}\ne \frac{36}{49}$.

Le facteur correctif de la loi hypergéométrique est $\frac{N-n}{N-1}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, ce qui donne bien $V_{\text{hyper}}=\frac{2}{3}\times V_{\text{binom}}=\frac{2}{3}\times \frac{36}{49}=\frac{24}{49}$. La loi binomiale surestime la variance car elle ignore la dépendance entre les tirages.