Probabilités & dénombrement 2BAC SE

Étape 1 – Données et arbre pondéré.

On traduit l'énoncé :

$$P(M_1)=0,60,P(M_2)=0,40,$$ $$P(D\mid M_1)=0,05,P(D\mid M_2)=0,08.$$

L'arbre comporte une première branche vers $M_1$ ou $M_2$, puis pour chacune une branche vers $D$ ou $\overline{D}$.

Étape 2 – Identification du chemin.

L'événement $M_1\cap D$ correspond au chemin de l'arbre : 'on passe d'abord par $M_1$, puis par $D$'.

Ce chemin est composé de deux branches successives : la branche $M_1$ de probabilité $0,60$, puis la branche $D$ de probabilité $P(D\mid M_1)=0,05$.

Étape 3 – Calcul de $P(M_1\cap D)$. [ÉTAPE CONTENANT L'ERREUR]

La probabilité du chemin s'obtient en cumulant les probabilités rencontrées le long des branches successives, c'est-à-dire en les additionnant : $$P(M_1\cap D)=P(M_1)+P(D\mid M_1)=0,60+0,05=0,65.$$

Étape 4 – Conclusion (avec le résultat de l'étape 3).

La probabilité que la pièce provienne de $M_1$ et soit défectueuse serait alors : $$P(M_1\cap D)=0,65.$$

Or $0,65$ dépasse $P(M_1)=0,60$, alors que $M_1\cap D$ est inclus dans $M_1$ : ce résultat est impossible.