Polynômes & équations du 2nd degré TC

Étape 1 – Calcul du discriminant et des racines.

On identifie les coefficients : $a=2$, $b=-7$, $c=-15$.

$$\Delta =b^2-4ac=(-7{)}^2-4\times 2\times (-15)=49+120=169$$

Comme $\Delta =169>0$, le polynôme admet deux racines réelles distinctes :

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{7-13}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$$

$$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{7+13}{4}=\frac{20}{4}=5$$

On a bien $x_1=-\frac{3}{2}<x_2=5$.

Étape 2 – Factorisation de $f(x)$.

Puisque $a=2$ et que les racines sont $x_1=-\frac{3}{2}$ et $x_2=5$, on écrit :

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=2\left(x+\frac{3}{2}\right)(x-5)$$

On peut aussi écrire, en développant le facteur $(x+\frac{3}{2})$ :

$$f(x)=(2x+3)(x-5)$$

Vérification rapide : $(2x+3)(x-5)=2x^2-10x+3x-15=2x^2-7x-15$ ✓

Étape 3 – Tableau de signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.

Les racines sont $x_1=-\frac{3}{2}$ et $x_2=5$. Comme $a=2>0$, la parabole est tournée vers le haut, donc $f(x)\ge 0$ à l'extérieur des racines.

Ainsi, sur $\mathbb{R}$ : $f(x)\ge 0⟺x\in \left]-\infty ;-\frac{3}{2}\right]\cup \left[5;+\infty \right[$.

Étape 4 – Résolution de $f(x)\ge 0$ sur $I=[-2;4]$. [⚠ ÉTAPE CONTENANT L'ERREUR]

On restreint maintenant le problème à l'intervalle $I=[-2;4]$. Sur cet intervalle, la racine $x_2=5$ est extérieure à $I$ (car $5>4$). L'élève conclut alors que, sur $I$, seule la racine $x_1=-\frac{3}{2}$ est à prendre en compte.

Il dresse donc un tableau de signe partiel en ignorant l'effet de $x_2=5$ :

En raisonnant comme si $f$ ne changeait plus de signe après $x_1=-\frac{3}{2}$ sur $I$ (puisque $x_2=5\notin I$), il conclut que $f(x)\ge 0$ pour tout $x\in \left[-\frac{3}{2};4\right]$.

Conclusion (fausse) : La solution de $f(x)\ge 0$ sur $I$ est $\left\{-2\right\}\cup \left[-\frac{3}{2};4\right]$, soit ${\left[-2;-\frac{3}{2}\right]}^c\cap I$... L'élève simplifie en disant que $f(-2)=2(4)+7(2)-15=8-14-15<0$, donc $f(-2)<0$, et retient finalement : $\mathcal{S}=\left[-\frac{3}{2};4\right]$.

Étape 5 – Conclusion.

En se basant sur le raisonnement erroné de l'étape 4, l'élève conclut :

$$\mathcal{S}=\left[-\frac{3}{2};4\right]$$

Il interprète ce résultat en disant : « Sur $[-2;4]$, le polynôme $f$ est positif ou nul exactement sur $\left[-\frac{3}{2};4\right]$, puisque la seule racine présente dans l'intervalle est $x_1=-\frac{3}{2}$ et que $f$ reste positive après celle-ci jusqu'au bord $4$. »