Polynômes & équations du 2nd degré TC

Étape 1 — Calcul du discriminant (Partie A, question 1).

Le trinôme est $P(x)=x^2-(m+3)x+(2m-1)$, donc $a=1$, $b=-(m+3)$, $c=2m-1$.

Le discriminant est $$\Delta =b^2-4ac=(-(m+3){)}^2-4\times 1\times (2m-1).$$

On développe : $$\Delta =(m+3{)}^2-4(2m-1)=m^2+6m+9-8m+4=m^2-2m+13.$$

Étape 2 — Mise sous forme canonique (Partie A, question 2).

On cherche à écrire $\Delta =m^2-2m+13$ sous la forme $(m+a{)}^2+b$.

On complète le carré : $$m^2-2m+13=(m-1{)}^2-1+13=(m-1{)}^2+12.$$

Donc $a=-1$ et $b=12$, soit $\Delta =(m-1{)}^2+12$.

Comme $(m-1{)}^2\ge 0$ pour tout réel $m$, on a $\Delta \ge 12>0$ pour tout $m\in \mathbb{R}$. Le trinôme $P(x)$ admet donc toujours deux racines réelles distinctes, quel que soit $m$.

Étape 3 — Mise en place des relations de Viète (Partie B, question 3).

Par les formules de Viète appliquées à $P(x)=x^2-(m+3)x+(2m-1)$ :

$$x_1+x_2=m+3\text{et}{x}_1\cdot x_2=2m-1.$$

On traduit la condition $x_1+x_2=3(x_1\cdot x_2-1)$ :

$$m+3=3((2m-1)-1)=3(2m-2)=6m-6.$$

On résout : $$m+3=6m-6⟹9=5m⟹m=\frac{9}{5}.$$

On conclut directement que $m=\frac{9}{5}$.

Étape 4 — Calcul des racines pour $m=\frac{9}{5}$ (Partie C, question 4).

Pour $m=\frac{9}{5}$, le trinôme devient :

$$P(x)=x^2-\left(\frac{9}{5}+3\right)x+\left(2\cdot \frac{9}{5}-1\right)=x^2-\frac{24}{5}x+\frac{13}{5}.$$

On calcule $\Delta$ pour cette valeur :

$$\Delta ={\left(\frac{9}{5}-1\right)}^2+12={\left(\frac{4}{5}\right)}^2+12=\frac{16}{25}+12=\frac{316}{25}>0.$$

Les racines sont $$x_{1,2}=\frac{\frac{24}{5}\pm \frac{\sqrt{316}}{5}}{2}=\frac{24\pm \sqrt{316}}{10}=\frac{12\pm \sqrt{79}}{5}.$$

Vérification : $x_1+x_2=\frac{24}{5}=m+3$ ✓ et $x_1\cdot x_2=\frac{13}{5}=2m-1$ ✓.

On vérifie la relation : $3(x_1{x}_2-1)=3\left(\frac{13}{5}-1\right)=3\cdot \frac{8}{5}=\frac{24}{5}=x_1+x_2$ ✓.

Étape 5 — Conclusion générale.

La valeur $m=\frac{9}{5}$ est la seule valeur du paramètre vérifiant la condition $x_1+x_2=3(x_1\cdot x_2-1)$.

Les deux racines correspondantes sont $$x_1=\frac{12+\sqrt{79}}{5}\text{et}{x}_2=\frac{12-\sqrt{79}}{5}.$$

Remarque absente mais nécessaire : La vérification que $\Delta \ge 0$ n'a pas été effectuée avant d'appliquer les formules de Viète à l'étape 3. Dans cet exercice, cela ne change pas la réponse finale car $\Delta >0$ pour tout $m$ (comme montré en Partie A), mais la démarche est incomplète : l'élève a utilisé les formules de Viète sans invoquer ce résultat préalable.