Polynômes & équations du 2nd degré TC

Étape 1 — Calcul du discriminant et des racines.

On identifie les coefficients : $a=-2$, $b=6$, $c=8$.

$$\Delta =b^2-4ac=6^2-4\times (-2)\times 8=36+64=100$$

Comme $\Delta =100>0$, le trinôme admet deux racines réelles distinctes :

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-6-10}{-4}=\frac{-16}{-4}=4$$

$$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-6+10}{-4}=\frac{4}{-4}=-1$$

Comme $x_2=-1<x_1=4$, on pose $x_1=-1$ et $x_2=4$ (ordre croissant).

Étape 2 — Factorisation de $f(x)$.

La forme factorisée d'un trinôme $a{x}^2+bx+c$ admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ est :

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Ici $a=-2$, $x_1=-1$, $x_2=4$, donc :

$$f(x)=-2(x-(-1))(x-4)=-2(x+1)(x-4)$$

Vérification : $-2(x+1)(x-4)=-2(x^2-3x-4)=-2x^2+6x+8$ ✓

Étape 3 — Tableau de signe de $f(x)$ et résolution de $(\mathcal{I})$.

On dispose de la forme factorisée $f(x)=-2(x+1)(x-4)$. Les racines sont $x_1=-1$ et $x_2=4$.

On étudie le signe de chaque facteur :

En dehors de $[-1;4]$, le produit $(x+1)(x-4)$ est positif (deux facteurs de même signe), et multiplié par $-2$ donne un résultat négatif. Entre $-1$ et $4$, le produit $(x+1)(x-4)$ est négatif, et multiplié par $-2$ donne un résultat positif.

Erreur ici : le tableau ci-dessus indique à tort $f(x)>0$ hors de $[-1;4]$, comme si $a$ était positif. En réalité, puisque $a=-2<0$, le signe de $f$ est l'opposé du cas $a>0$ : $f(x)>0$ entre les racines et $f(x)<0$ à l'extérieur.

D'après ce tableau (erroné), on conclut que $f(x)>0$ pour $x\in ]-\infty ;-1[\cup ]4;+\infty [$.

Étape 4 — Étude du signe de $g(x)=f(x)-10$.

On a $g(x)=-2x^2+6x+8-10=-2x^2+6x-2$.

Calculons le discriminant de $g$ :

$${\Delta }_g=6^2-4\times (-2)\times (-2)=36-16=20>0$$

Donc $g$ admet deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$. Puisque le coefficient de $x^2$ dans $g$ est $-2<0$, et en appliquant le même raisonnement (erroné) que précédemment, on conclut que $g(x)>0$ en dehors de $[r_1;r_2]$, donc l'équation $g(x)=0$ admet deux solutions réelles (ce point est correct : deux racines distinctes existent bien car ${\Delta }_g>0$).

La conclusion sur le nombre de solutions ($2$ solutions réelles distinctes) est ici accidentellement correcte, mais le tableau de signe de $g$ serait lui aussi faux si on le dressait.