Ordre dans ℝ TC

Étape 1 — Encadrement de $x^2$

On part de $3\le x\le 5$. Puisque $3>0$, tous les membres sont strictement positifs, et la fonction $t\mapsto t^2$ est croissante sur $[3,5]$.

On peut donc composer l'encadrement sans changer le sens des inégalités :

L'encadrement $9\le x^2\le 25$ est établi.

Étape 2 — Encadrement de $\frac{1}{x^2}$

On dispose de $9\le x^2\le 25$, avec $9>0$. La fonction $t\mapsto \frac{1}{t}$ est strictement décroissante sur $[9,25]$.

En appliquant cette fonction décroissante, le sens des inégalités s'inverse :

Ainsi $\frac{1}{x^2}\in \left[\frac{1}{25},\frac{1}{9}\right]$.

Étape 3 — Encadrement de $x+1$ puis de $\frac{1}{x+1}$

On part de $3\le x\le 5$. En ajoutant $1$ à chaque membre (opération qui conserve le sens) :

Maintenant on souhaite encadrer $\frac{1}{x+1}$. Comme $4>0$, la fonction $t\mapsto \frac{1}{t}$ est strictement décroissante sur $[4,6]$. En appliquant cette fonction à l'encadrement $4\le x+1\le 6$, on conserve le sens des inégalités :

On en déduit $\frac{1}{x+1}\in \left[\frac{1}{4},\frac{1}{6}\right]$.

Étape 4 — Encadrement de $\frac{3}{x+1}$

En multipliant l'encadrement (faux) $\frac{1}{4}\le \frac{1}{x+1}\le \frac{1}{6}$ par $3>0$ (ce qui conserve le sens) :

On obtient $\frac{3}{x+1}\in \left[\frac{3}{4},\frac{1}{2}\right]$.

Étape 5 — Encadrement de $E(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x+1}$

On additionne les deux encadrements obtenus :

• $\frac{1}{25}\le \frac{1}{x^2}\le \frac{1}{9}$
• $\frac{3}{4}\le \frac{3}{x+1}\le \frac{1}{2}$

L'addition membre à membre d'encadrements valides donne :

Soit, en calculant :

On conclut que $E(x)\in \left[\frac{79}{100},\frac{11}{18}\right]$.

Étape 6 — Vérification de la cohérence

Remarquons que $\frac{79}{100}=0,79$ et $\frac{11}{18}\approx 0,611$. L'encadrement obtenu donne une borne inférieure supérieure à la borne supérieure, ce qui est une incohérence apparente — mais elle découle directement de l'encadrement erroné de $\frac{1}{x+1}$ obtenu à l'étape 3, que nous avons propagé tel quel. La conclusion finale est donc : $E(x)\in \left[\frac{79}{100},\frac{11}{18}\right]$.