Ordre dans ℝ TC

Étape 1 — Rappels théoriques.

Pour tout réel $a$, on définit : $$|a|=\{\begin{array}{ll}a& \text{si }a\ge 0\\ -a& \text{si }a<0\end{array}$$ La propriété fondamentale est : pour tous réels $u$ et $v$, $$|u|=v\iff \left(v\ge 0\text{ et }(u=v\text{ ou }u=-v)\right).$$ En particulier, si $v<0$, l'équation $|u|=v$ n'a aucune solution.

Étape 2 — Mise au carré des deux membres.

On considère l'équation $(E):|2x-3|=x-4$.

En mettant au carré les deux membres, on obtient une condition nécessaire :

Développons chaque membre :

On regroupe tous les termes à gauche :

Le discriminant vaut $\Delta =16+4\times 3\times 7=16+84=100>0$.

Les racines sont :

On conclut que les candidats solutions sont $x=\frac{7}{3}$ et $x=-1$.

Étape 3 — Acceptation des solutions sans vérification.

La mise au carré est une opération qui conserve les égalités : si $|2x-3|=x-4$, alors nécessairement $(2x-3{)}^2=(x-4{)}^2$, et réciproquement, toute solution de $(2x-3{)}^2=(x-4{)}^2$ est solution de $|2x-3|=x-4$.

On en déduit donc directement :

Étape 4 — Résolution de l'inéquation $|2x-3|\le x-4$.

D'après la question 3, l'équation $|2x-3|=x-4$ admet les solutions $x=-1$ et $x=\frac{7}{3}$.

Pour résoudre $|2x-3|\le x-4$, on étudie le signe de $f(x)=|2x-3|-(x-4)$ autour des racines $-1$ et $\frac{7}{3}$.

On teste $x=0$ (entre $-1$ et $\frac{7}{3}$) : $|-3|-(0-4)=3+4=7>0$, donc $f(0)>0$.

On teste $x=5$ (au-delà de $\frac{7}{3}$) : $|7|-1=6>0$, donc $f(5)>0$.

On teste $x=-2$ (en-deçà de $-1$) : $|-7|-(-6)=7+6=13>0$, donc $f(-2)>0$.

Puisque $f(x)\ge 0$ partout et $f(x)=0$ exactement en $x=-1$ et $x=\frac{7}{3}$, on conclut :