Ordre dans ℝ TC

Étape 1 — Question A.1 : majoration de $|2x-3|$

On suppose $|x-1|\le \frac{1}{2}$. On écrit :

donc

par l'inégalité triangulaire $|a+b|\le |a|+|b|$ appliquée à $a=2(x-1)$ et $b=-1$.

Puisque $|x-1|\le \frac{1}{2}$, on obtient :

Ainsi, pour tout $x$ tel que $|x-1|\le \frac{1}{2}$, on a bien $|2x-3|\le 2$. $■$

Étape 2 — Question A.2 : minoration de $|x+1|$

On écrit $x+1=(x-1)+2$, donc on cherche à minorer $|x+1|=|(x-1)+2|$.

Pour minorer une valeur absolue d'une somme, on utilise la seconde forme de l'inégalité triangulaire :

avec $a=2$ et $b=x-1$ :

Comme $|x-1|\le \frac{1}{2}<2$, on a $2-|x-1|>0$, donc $|2-|x-1||=2-|x-1|$.

Ainsi :

On a donc bien $|x+1|\ge \frac{3}{2}$ pour tout $x$ tel que $|x-1|\le \frac{1}{2}$. $■$

Étape 3 — Question A.3 : encadrement de $f(x)$ et borne de $|f(x)|$

On a $f(x)=|2x-3|-|x+1|$. D'après les étapes précédentes, pour $|x-1|\le \frac{1}{2}$ :

• $0\le |2x-3|\le 2$
• $|x+1|\ge \frac{3}{2}$

De plus, $|x+1|\le |x-1|+2\le \frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$.

Donc :

Ainsi $-\frac{5}{2}\le f(x)\le \frac{1}{2}$, et donc :

Une borne supérieure de $|f(x)|$ sur $\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]$ est $\frac{5}{2}$.

Étape 4 — Question B : minoration de $|f(x)|$

On a $f(x)=|2x-3|-|x+1|$, donc $|f(x)|=||2x-3|-|x+1||$.

On souhaite minorer $|f(x)|$ en fonction de $|x-1|$. Pour cela, on applique la forme de minoration de l'inégalité triangulaire :

avec $a=2x-3$ et $b=x+1$. On obtient :

Donc $|f(x)|\le |x-4|$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

On conclut que $|f(x)|$ est majorée par $|x-4|$, ce qui permet d'écrire, pour $x$ proche de $4$, que $f(x)$ tend vers $0$.

Étape 5 — Exploitation du résultat (cohérence aval)

D'après l'étape 4, on dispose de la majoration $|f(x)|\le |x-4|$.

En particulier, pour $|x-4|\le \epsilon$ (avec $\epsilon >0$), on aurait $|f(x)|\le \epsilon$, ce qui suggère que $f$ est « contrôlée » au voisinage de $4$.

On note que $f(4)=|8-3|-|4+1|=5-5=0$, ce qui est cohérent avec le fait que $|f(x)|\le |x-4|$ implique $f(4)=0$.

Ainsi, la borne obtenue confirme que $f$ s'annule en $x=4$ et que $|f(x)|$ peut être rendue aussi petite que l'on veut en prenant $x$ suffisamment proche de $4$.