Ordre dans ℝ TC

Étape 1 — Minimum de $f$ (question A.1).

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, la valeur absolue vérifie $|2x-3|\ge 0$, donc $$f(x)=|2x-3|-5\ge 0-5=-5.$$Le minimum $-5$ est atteint lorsque $|2x-3|=0$, soit $2x-3=0$, c'est-à-dire $x=\frac{3}{2}$.

Étape 2 — Résolution de $f(x)=0$ (question A.2).

$$f(x)=0⟺|2x-3|=5.$$Or $|u|=5⟺u=5$ ou $u=-5$. On distingue deux cas :

• $2x-3=5⟹x=4$,
• $2x-3=-5⟹x=-1$.

L'ensemble solution est $S=\{-1;4\}$.

Étape 3 — Résolution de $(I_1)$ : $|2x-3|\le 7$ (question B.3).

On réécrit $(I_1)$ : $$|2x-3|-5\le 2⟺|2x-3|\le 7.$$Comme $7>0$, l'équivalence classique s'applique : $$|2x-3|\le 7⟺-7\le 2x-3\le 7.$$On résout l'encadrement :

$$-7\le 2x-3\le 7⟺-7+3\le 2x\le 7+3⟺-4\le 2x\le 10⟺-2\le x\le 5.$$

L'ensemble solution de $(I_1)$ est $S_1=[-2;5]$.

Étape 4 — Résolution de $(I_2)$ : $|2x-3|\le -2$ (question B.4).

On réécrit $(I_2)$ : $$|2x-3|-5\le -7⟺|2x-3|\le -2.$$On applique l'équivalence $|u|\le k⟺-k\le u\le k$ avec $k=-2$ : $$|2x-3|\le -2⟺2\le 2x-3\le -2.$$On résout l'encadrement :

$$2\le 2x-3\le -2⟺5\le 2x\le 1⟺\frac{5}{2}\le x\le \frac{1}{2}.$$

Comme $\frac{5}{2}>\frac{1}{2}$, cet encadrement est impossible, donc l'ensemble solution de $(I_2)$ est $S_2=\varnothing$.

(Remarque de l'élève : l'encadrement est vide, on conclut $S_2=\varnothing$.)

Étape 5 — Intersection $S_1\cap S_2$ (question B.5).

D'après les étapes précédentes, $S_1=[-2;5]$ et $S_2=\varnothing$.

L'ensemble des réels vérifiant simultanément $(I_1)$ et $(I_2)$ est $$S_1\cap S_2=[-2;5]\cap \varnothing =\varnothing .$$

Conclusion : aucun réel ne satisfait simultanément les deux inéquations.