Ordre dans ℝ TC

Étape 1 – Factorisation du numérateur.

On cherche les racines de $x^2-3x+2$. Le discriminant vaut $\Delta =9-8=1$, donc les racines sont $x_1=1$ et $x_2=2$.

On obtient la factorisation :

Ainsi, pour tout $x\ne 1$ :

Le domaine de définition de $f$ est $D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

Étape 2 – Réécriture de l'inégalité $(\mathcal{I})$.

L'inégalité $(\mathcal{I})$ est $\frac{x^2-3x+2}{x-1}\ge 3$.

D'après l'étape 1, pour $x\ne 1$, on a $\frac{x^2-3x+2}{x-1}=x-2$.

L'inégalité $(\mathcal{I})$ est donc équivalente à :

ce qui donne $x\ge 5$.

On note ce résultat intermédiaire : $x\ge 5$.

Étape 3 – Ensemble solution de $(\mathcal{I})$.

La simplification $\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2$ est valable pour $x\ne 1$. Or $x=1$ ne vérifie pas $x\ge 5$, donc il n'est pas dans l'ensemble solution de toute façon.

L'ensemble solution de $(\mathcal{I})$ est donc :

Étape 4 – Résolution de $|f(x)-3|\le 1$.

Pour $x\in D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, on a $f(x)=x-2$, donc :

L'inégalité devient $|x-5|\le 1$, ce qui est équivalente à :

En ajoutant $5$ à chaque membre :

L'ensemble solution intermédiaire est $[4,6]$.

Étape 5 – Prise en compte du domaine et conclusion.

On doit exclure $x=1$ du domaine. Puisque $1\notin [4,6]$, l'ensemble solution de $|f(x)-3|\le 1$ est :

On vérifie que cet intervalle est bien centré en $\frac{4+6}{2}=5$. ✓

Maintenant, on souhaite en déduire les solutions de l'inégalité $(\mathcal{J})$ : $(x-1)\cdot f(x)\ge 3(x-1)$.

Pour $x\in D_f$, l'inégalité $(\mathcal{J})$ s'écrit $(x-1)(x-2)\ge 3(x-1)$. On multiplie les deux membres de l'inégalité $f(x)\ge 3$, c'est-à-dire $x-2\ge 3$, par $(x-1)$, ce qui donne directement :

Le sens de l'inégalité est conservé, donc l'ensemble solution de $(\mathcal{J})$ est le même que celui de $(\mathcal{I})$, soit $[5,+\infty [$.

Étape 6 – Conclusion générale.

• $f(x)=x-2$ sur $D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
• L'ensemble solution de $(\mathcal{I}):f(x)\ge 3$ est $S=[5,+\infty [$.
• L'ensemble solution de $|f(x)-3|\le 1$ est $S^{\prime }=[4,6]$, intervalle centré en $5$.
• L'ensemble solution de $(\mathcal{J}):(x-1)\cdot f(x)\ge 3(x-1)$ est $[5,+\infty [$ (résultat découlant de l'étape 5).