Calcul intégral 2BAC SM

Étape 1 – Dérivée et tableau de variations.

On calcule $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.

Sur $[-2,2]$, $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ ou $x=1$.

• Sur $(-2,-1)$ : $f^{\prime }(x)>0$ (croissant).
• Sur $(-1,1)$ : $f^{\prime }(x)<0$ (décroissant).
• Sur $(1,2)$ : $f^{\prime }(x)>0$ (croissant).

Valeurs remarquables : $f(-1)=-1+3=2$, $f(0)=0$, $f(1)=1-3=-2$.

Zéros de $f$ : $f(x)=x^3-3x=x(x^2-3)=x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$.

Donc les zéros sont $x=-\sqrt{3}$, $x=0$ et $x=\sqrt{3}$, ce qui est cohérent avec le tableau de variations (la courbe coupe l'axe des abscisses en ces trois points).

Étape 2 – Calcul de $I$ et $J$.

On pose $F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}$ une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Calcul de $I=\underset{0}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}f(x)dx$ :

$$I=F(\sqrt{3})-F(0)=\left(\frac{9}{4}-\frac{9}{2}\right)-0=\frac{9}{4}-\frac{18}{4}=-\frac{9}{4}.$$

Ainsi $I=-\frac{9}{4}$ (valeur négative, cohérente car $f(x)\le 0$ sur $[0,\sqrt{3}]$).

Calcul de $J=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{0}{\int }}f(x)dx$ :

$$J=F(0)-F(-\sqrt{3})=0-\left(\frac{9}{4}-\frac{9}{2}\right)=0-\left(-\frac{9}{4}\right)=\frac{9}{4}.$$

Ainsi $J=\frac{9}{4}$ (valeur positive, cohérente car $f(x)\ge 0$ sur $[-\sqrt{3},0]$).

Étape 3 – Aire algébrique.

$$A_{\text{alg}}=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}f(x)dx=J+I=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)=0.$$

L'aire algébrique est nulle. Cela s'explique par la parité de $f$ : puisque $f$ est une fonction impaire ($f(-x)=-f(x)$), l'intégrale sur un intervalle symétrique par rapport à $0$ est toujours nulle. Les contributions positives et négatives se compensent exactement.

Étape 4 – Aire géométrique (étape contenant l'erreur).

L'aire géométrique du domaine délimité par $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses sur $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ est donnée par :

$$\mathcal{A}=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}f(x)dx.$$

D'après l'étape précédente, on a directement :

$$\mathcal{A}=A_{\text{alg}}=0\text{ u.a.}$$

On conclut que l'aire du domaine est $\mathcal{A}=0$ unité d'aire.

Étape 5 – Vérification dimensionnelle (basée sur le résultat de l'étape 4).

Puisque $\mathcal{A}=0$ u.a., on note que la courbe $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses délimitent un domaine d'aire nulle sur $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$. Ce résultat est présenté comme une conséquence directe de l'imparité de $f$ : les deux « lobes » de la courbe (l'un au-dessus, l'autre en dessous de l'axe) se compensent intégralement.