Calcul intégral 2BAC SM

Étape 1 — Signe de $2x-1$ et expression par morceaux.

On résout $2x-1=0$, ce qui donne $x=\frac{1}{2}$.

• Pour $x\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$ : $2x-1\le 0$, donc $f(x)=-(2x-1)=1-2x$.
• Pour $x\in \left[\frac{1}{2},2\right]$ : $2x-1\ge 0$, donc $f(x)=2x-1$.

Étape 2 — Calcul de $I$ par décomposition.

On décompose l'intégrale sur les deux sous-intervalles :

Calcul de la première intégrale :

Calcul de la deuxième intégrale :

Donc :

Étape 3 — Expression de $F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$.

Sans tenir compte du changement de signe de $2t-1$, on calcule directement une primitive de $|2t-1|$ comme si c'était la fonction $2t-1$ sur tout $[0,2]$ :

On obtient ainsi une expression unique valable pour tout $x\in [0,2]$ :

Étape 4 — Vérification de la dérivabilité de $F$ en $x=\frac{1}{2}$ (avec le résultat faux).

Avec l'expression obtenue $F(x)=x^2-x$, on calcule $F^{\prime }(x)=2x-1$.

En $x=\frac{1}{2}$ : $F^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{2}-1=0$.

La dérivée existe et vaut $0$ en $\frac{1}{2}$, ce qui semble confirmer la dérivabilité. On conclut (à tort) que $F$ est dérivable en $\frac{1}{2}$ et que $F^{\prime }(x)=2x-1$ sur $[0,2]$.

Étape 5 — Calcul de l'aire.

Puisque $f(x)=|2x-1|\ge 0$ sur $[0,2]$, l'aire cherchée est exactement $I$, calculée correctement à l'étape 2 :