Géométrie analytique du plan 1BAC SM

Étape 1 — Vecteur $\overrightarrow{AB}$ et équation de $(AB)$.

On calcule : $\overrightarrow{AB}=B-A=(4-1,3-(-2))=(3,5)$.

Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\vec{u}(3,5)$, donc un vecteur normal à $(AB)$ est $\vec{n}(-5,3)$.

L'équation de $(AB)$ est de la forme $-5x+3y+c=0$. On impose le passage par $A(1,-2)$ :

L'équation cartésienne de $(AB)$ est donc $\boxed{-5x+3y+11=0}$.

Vérification avec $B(4,3)$ : $-5(4)+3(3)+11=-20+9+11=0$ ✓

Étape 2 — Coordonnées du point $D$.

On a $\overrightarrow{AC}=C-A=(-1-1,5-(-2))=(-2,7)$.

On calcule $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ :

Les coordonnées de $D$ sont donc $D=A+\overrightarrow{AD}=(1+8,-2+3)=\boxed{(9,1)}$.

Étape 3 — Équation de la droite $\Delta$ passant par $C(-1,5)$ de vecteur directeur $\overrightarrow{AB}=(3,5)$.

Le vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}(3,5)$.

Erreur ici : On utilise directement les composantes du vecteur directeur $\vec{u}(3,5)$ comme coefficients de l'équation cartésienne, en écrivant l'équation sous la forme $3x+5y+c=0$.

On impose le passage par $C(-1,5)$ :

L'équation cartésienne de $\Delta$ est donc $\boxed{3x+5y-22=0}$.

Étape 4 — Distance du point $A(1,-2)$ à la droite $\Delta$.

On utilise l'équation trouvée à l'étape précédente : $\Delta :3x+5y-22=0$.

La formule de la distance d'un point $M(x_0,y_0)$ à la droite $ax+by+c=0$ est :

On applique avec $A(1,-2)$, $a=3$, $b=5$, $c=-22$ :