Géométrie analytique du plan 1BAC SM

Étape 1 — Calcul des vecteurs directeurs des côtés.

On calcule :

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(2-(-1),3-3)=(3,0)$$

$$\overrightarrow{BC}=C-B=(2-2,-1-3)=(0,-4)$$

$$\overrightarrow{CD}=D-C=(-1-2,-1-(-1))=(-3,0)$$

$$\overrightarrow{DA}=A-D=(-1-(-1),3-(-1))=(0,4)$$

On observe que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires (tous deux horizontaux), et $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{DA}$ sont colinéaires (tous deux verticaux). Donc $ABCD$ est un parallélogramme.

De plus, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=3\times 0+0\times (-4)=0$, donc $(AB)\perp (BC)$. Ainsi $ABCD$ est un rectangle.

Étape 2 — Équation de la diagonale $(AC)$.

On a $A(-1,3)$ et $C(2,-1)$.

Le coefficient directeur de $(AC)$ est :

$$m_{AC}=\frac{-1-3}{2-(-1)}=\frac{-4}{3}$$

L'équation de $(AC)$ passant par $A(-1,3)$ :

$$y-3=-\frac{4}{3}(x-(-1))⟹y-3=-\frac{4}{3}(x+1)$$

$$y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}+3=-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$$

Soit : $(AC):y=-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$, de coefficient directeur $m_{AC}=-\frac{4}{3}$.

Étape 3 — Équation de la diagonale $(BD)$.

On a $B(2,3)$ et $D(-1,-1)$.

Le coefficient directeur de $(BD)$ est :

$$m_{BD}=\frac{-1-3}{-1-2}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$$

L'équation de $(BD)$ passant par $B(2,3)$ :

$$y-3=\frac{4}{3}(x-2)⟹y=\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}+3=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$$

Soit : $(BD):y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$, de coefficient directeur $m_{BD}=\frac{4}{3}$.

Étape 4 — Perpendicularité des diagonales.

On vérifie si $(AC)\perp (BD)$ en calculant le produit des coefficients directeurs :

$$m_{AC}\times m_{BD}=\left(-\frac{4}{3}\right)\times \frac{4}{3}=-\frac{16}{9}$$

On obtient $m_{AC}\times m_{BD}=-\frac{16}{9}\ne -1$.

Donc les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ ne sont pas perpendiculaires.

Étape 5 — Vérification supplémentaire par les longueurs des côtés.

Calculons les longueurs des côtés :

$$AB=\sqrt{(2-(-1){)}^2+(3-3{)}^2}=\sqrt{9}=3$$

$$BC=\sqrt{(2-2{)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{16}=4$$

Puisque $AB=3\ne 4=BC$, les côtés consécutifs ne sont pas égaux, donc $ABCD$ n'est pas un carré. On cherche maintenant à vérifier si les diagonales sont perpendiculaires en utilisant à nouveau la condition $m\times m^{\prime }=-1$.

Considérons maintenant la droite $(AB)$ qui est horizontale, d'équation $y=3$, et la droite $(BC)$ qui est verticale, d'équation $x=2$. Pour vérifier leur perpendicularité, on prend le coefficient directeur de $(AB)$ : $m_{AB}=0$. La droite $(BC)$ étant verticale, on lui attribue formellement $m_{BC}=\frac{1}{0}$, et on calcule :

$$m_{AB}\times m_{BC}=0\times \frac{1}{0}=\frac{0}{0}$$

Cette forme indéterminée donne $0$, et comme $0\ne -1$, on conclut que $(AB)$ et $(BC)$ ne seraient pas perpendiculaires selon ce critère — ce qui contredit le résultat de l'étape 1.

(On retient donc uniquement le résultat de l'étape 1 pour la perpendicularité des côtés, obtenu par produit scalaire.)

Étape 6 — Conclusion sur la nature de $ABCD$.

Bilan :

• $ABCD$ est un parallélogramme (côtés opposés parallèles, étape 1).
• $ABCD$ est un rectangle car $(AB)\perp (BC)$ (étape 1, produit scalaire).
• Les côtés ne sont pas tous égaux ($AB=3\ne 4=BC$), donc $ABCD$ n'est pas un carré.
• Les diagonales ne sont pas perpendiculaires ($m_{AC}\times m_{BD}=-\frac{16}{9}\ne -1$, étape 4).

Conclusion : $ABCD$ est un rectangle non carré, et ses diagonales ne sont pas perpendiculaires, ce qui est cohérent avec un rectangle quelconque.