Géométrie dans l'espace 1BAC SM

Étape 1 – Coordonnées des points.

Dans le repère orthonormé d'origine $A$, on lit directement les sommets du cube d'arête $1$ :

$$A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(1,1,0),D=(0,1,0)$$

$$A^{\prime }=(0,0,1),B^{\prime }=(1,0,1),C^{\prime }=(1,1,1),D^{\prime }=(0,1,1)$$

$M$ est le milieu de $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$ : $M=\left(\frac{0+1}{2},\frac{0+0}{2},\frac{1+1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},0,1\right)$.

$N$ est le milieu de $[CD]$ : $N=\left(\frac{1+0}{2},\frac{1+1}{2},\frac{0+0}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},1,0\right)$.

Étape 2 – La droite $(MN)$ est l'arête du dièdre.

On calcule $\overrightarrow{MN}=N-M=\left(0,1,-1\right)$.

Plan $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ : ce plan est $y=0$, de vecteur normal $\vec{j}=(0,1,0)$. On vérifie $\overrightarrow{MN}\cdot \vec{j}=0\cdot 0+1\cdot 1+(-1)\cdot 0=1\ne 0$.

Hmm, on cherche plutôt si $\overrightarrow{MN}$ est parallèle au plan, c'est-à-dire si $\overrightarrow{MN}$ est perpendiculaire au normal du plan. On a bien $\overrightarrow{MN}\cdot \vec{j}=1\ne 0$, donc $\overrightarrow{MN}$ n'est pas parallèle au plan $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.

Rectifions : montrons que $(MN)$ est perpendiculaire au plan $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ en vérifiant que $\overrightarrow{MN}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{j}$ de ce plan. Or $\overrightarrow{MN}=(0,1,-1)$ n'est pas colinéaire à $(0,1,0)$.

En réalité, on montre que $(MN)$ est perpendiculaire à l'arête commune des deux plans $(MNC)$ et $(MNA)$. L'arête commune est la droite $(MN)$ elle-même. Deux plans contenant tous deux la droite $(MN)$ ont bien $(MN)$ comme arête de leur dièdre. En effet, $M$ et $N$ appartiennent aux deux plans $(MNC)$ et $(MNA)$, donc $(MN)\subset (MNC)$ et $(MN)\subset (MNA)$, ce qui fait de $(MN)$ l'arête du dièdre.

Étape 3 – Vecteurs normaux aux deux plans.

Plan $(MNA)$ : On dispose de $\overrightarrow{MN}=(0,1,-1)$ et $\overrightarrow{MA}=A-M=\left(-\frac{1}{2},0,-1\right)$.

Le vecteur normal $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{MN}\wedge \overrightarrow{MA}$ est :

$$\overrightarrow{n_1}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 1& -1\\ -\frac{1}{2}& 0& -1\end{array}\right|=\vec{i}(1\cdot (-1)-(-1)\cdot 0)-\vec{j}(0\cdot (-1)-(-1)\cdot (-\frac{1}{2}))+\vec{k}(0\cdot 0-1\cdot (-\frac{1}{2}))$$

$$=\vec{i}(-1)-\vec{j}\left(0-\frac{1}{2}\right)+\vec{k}\left(\frac{1}{2}\right)=\left(-1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$

On peut multiplier par $2$ : $\overrightarrow{n_1}=(-2,1,1)$.

Plan $(MNC)$ : On dispose de $\overrightarrow{MN}=(0,1,-1)$ et $\overrightarrow{MC}=C-M=\left(\frac{1}{2},1,-1\right)$.

Le vecteur normal $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{MN}\wedge \overrightarrow{MC}$ est :

$$\overrightarrow{n_2}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 1& -1\\ \frac{1}{2}& 1& -1\end{array}\right|=\vec{i}(1\cdot (-1)-(-1)\cdot 1)-\vec{j}(0\cdot (-1)-(-1)\cdot \frac{1}{2})+\vec{k}(0\cdot 1-1\cdot \frac{1}{2})$$

$$=\vec{i}(-1+1)-\vec{j}\left(0+\frac{1}{2}\right)+\vec{k}\left(-\frac{1}{2}\right)=\left(0,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$$

On peut multiplier par $-2$ : $\overrightarrow{n_2}=(0,1,1)$.

Étape 4 – Calcul de l'angle dièdre (étape contenant l'erreur).

Pour mesurer l'angle dièdre d'arête $(MN)$, on va utiliser les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MC}$ tracés directement depuis $M$ vers $A$ et $C$, l'un dans chaque demi-plan. On calcule l'angle entre ces deux vecteurs, estimant que cela donne l'angle dièdre.

On a $\overrightarrow{MA}=\left(-\frac{1}{2},0,-1\right)$ et $\overrightarrow{MC}=\left(\frac{1}{2},1,-1\right)$.

$$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}=\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)+0\cdot 1+(-1)(-1)=-\frac{1}{4}+0+1=\frac{3}{4}$$

$$\Vert \overrightarrow{MA}\Vert =\sqrt{\frac{1}{4}+0+1}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2},\Vert \overrightarrow{MC}\Vert =\sqrt{\frac{1}{4}+1+1}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$$

$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}}{\Vert \overrightarrow{MA}\Vert \Vert \overrightarrow{MC}\Vert }=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{3}{2}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3\sqrt{5}}{4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

L'angle dièdre vaut donc $\theta =\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\approx 63,43°$.

Étape 5 – Conclusion.

L'angle dièdre le long de l'arête $(MN)$ entre les demi-plans contenant $A$ et $C$ est :

$$\boxed{\theta =\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\approx 63,43°}$$

Ce résultat est cohérent avec la géométrie du cube : les deux demi-plans se rejoignent selon un angle inférieur à $90°$, ce qui semble raisonnable au vu de la configuration.