Géométrie dans l'espace 1BAC SM

Étape 1 — Calcul des distances $DA$, $DB$, $DC$.

On utilise la formule de la distance dans l'espace. Avec $D=(2,2,4)$ :

On remarque que $DA=DB=2\sqrt{6}$, donc $D$ est équidistant de $A$ et de $B$. En revanche, $DC=2\sqrt{5}\ne 2\sqrt{6}$, donc $D$ n'est pas équidistant de $A$ (ou $B$) et $C$.

Étape 2 — Calcul des milieux $I$, $J$, $K$.

Le milieu de deux points s'obtient en prenant la moyenne des coordonnées :

Étape 3 — Détermination de l'ensemble $\mathcal{P}$ des points $M(x,y,z)$ vérifiant $MA=MB$.

On traduit la condition $MA=MB$ en coordonnées :

La condition $MA=MB$ équivaut à $M{A}^2=M{B}^2$, soit :

L'ensemble $\mathcal{P}$ est donc défini par l'équation $x=2$.

Nature géométrique : $\mathcal{P}$ est la droite d'équation $x=2$ passant par le milieu $I=(2,0,0)$ de $[AB]$, car c'est l'ensemble des points dont l'abscisse est $2$.

Étape 4 — Vérification que $D$ appartient à $\mathcal{P}$.

D'après la définition de $\mathcal{P}$ (droite $x=2$), un point appartient à $\mathcal{P}$ si et seulement si son abscisse est égale à $2$.

$D=(2,2,4)$ a pour abscisse $2$, donc $D\in \mathcal{P}$. ✓

Cela est cohérent avec le résultat de l'étape 1 : $DA=DB=2\sqrt{6}$.

Vérification pour $C$ : $C=(2,4,0)$ a pour abscisse $2$, donc $C\in \mathcal{P}$ selon notre description de $\mathcal{P}$.

Vérifions : $CA=\sqrt{4+16+0}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ et $CB=\sqrt{4+16+0}=2\sqrt{5}$. Effectivement $CA=CB$, donc $C$ vérifie bien $MA=MB$ et appartient à $\mathcal{P}$.

Étape 5 — Conclusion sur la nature de $\mathcal{P}$.

En résumé, $\mathcal{P}$ est la droite d'équation $x=2$ dans l'espace. Elle passe par le milieu $I=(2,0,0)$ de $[AB]$ et contient tous les points dont l'abscisse est $2$, notamment $D=(2,2,4)$ et $C=(2,4,0)$.

On a ainsi caractérisé $\mathcal{P}$ comme la médiatrice du segment $[AB]$ dans l'espace.