Géométrie dans l'espace 1BAC SM

Étape 1 – Coordonnées des milieux.

On a $B=(2,0,0)$, $C=(0,2,0)$, $D=(0,0,2)$.

• $I$ milieu de $[BC]$ : $I=\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+2}{2},\frac{0+0}{2}\right)=(1,1,0)$.
• $J$ milieu de $[BD]$ : $J=\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+0}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(1,0,1)$.
• $M$ milieu de $[CD]$ : $M=\left(\frac{0+0}{2},\frac{2+0}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(0,1,1)$.

Étape 2 – Équation cartésienne du plan $(BCD)$.

On cherche un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $(BCD)$. On calcule deux vecteurs directeurs de ce plan :

$$\overrightarrow{BC}=C-B=(-2,2,0),\overrightarrow{BD}=D-B=(-2,0,2).$$

On pose $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\wedge \overrightarrow{BD}$ :

$$\vec{n}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -2& 2& 0\\ -2& 0& 2\end{array}\right|=\vec{i}(2\cdot 2-0\cdot 0)-\vec{j}((-2)\cdot 2-0\cdot (-2))+\vec{k}((-2)\cdot 0-2\cdot (-2))$$

$$=\vec{i}(4)-\vec{j}(-4)+\vec{k}(4)=(4,4,4).$$

On peut simplifier : $\vec{n}=(1,1,1)$. L'équation du plan $(BCD)$ est donc de la forme $x+y+z=d$. En substituant $B=(2,0,0)$ : $2+0+0=2$, donc $d=2$.

$$\boxed{(BCD):x+y+z=2.}$$

Étape 3 – La droite $(AJ)$ est-elle parallèle au plan $(BCD)$ ?

On a $A=(0,0,0)$ et $J=(1,0,1)$, donc $\overrightarrow{AJ}=(1,0,1)$.

Condition 1 – Absence d'intersection : On vérifie si $A$ et $J$ appartiennent à $(BCD)$.

• $A$ : $0+0+0=0\ne 2$, donc $A\notin (BCD)$.
• $J$ : $1+0+1=2$, donc $J\in (BCD)$.

Puisque $J\in (BCD)$, la droite $(AJ)$ coupe le plan $(BCD)$ en $J$. La droite $(AJ)$ n'est pas parallèle au plan $(BCD)$.

Étape 4 – La droite $(IM)$ est-elle parallèle au plan $(BCD)$ ?

On a $I=(1,1,0)$ et $M=(0,1,1)$, donc $\overrightarrow{IM}=(-1,0,1)$.

Condition 1 – Absence d'intersection : On vérifie si $I$ et $M$ appartiennent à $(BCD)$.

• $I$ : $1+1+0=2$, donc $I\in (BCD)$.
• $M$ : $0+1+1=2$, donc $M\in (BCD)$.

Les deux points $I$ et $M$ sont dans $(BCD)$, donc la droite $(IM)$ est entièrement contenue dans $(BCD)$. Elle n'est donc pas parallèle au plan.

Cherchons alors une autre droite : étudions la droite $(AI)$. On a $\overrightarrow{AI}=(1,1,0)$. On vérifie : $A\notin (BCD)$ (car $0\ne 2$) et $I\in (BCD)$, donc $(AI)$ coupe $(BCD)$. Elle n'est pas parallèle non plus.

Étape 5 – Étude de la droite $(AM)$ et parallélisme au plan $(BCD)$.

On étudie maintenant la droite $(AM)$ avec $A=(0,0,0)$ et $M=(0,1,1)$, donc $\overrightarrow{AM}=(0,1,1)$.

Condition 1 – Absence d'intersection :

• $A$ : $0+0+0=0\ne 2$, donc $A\notin (BCD)$.
• $M$ : $0+1+1=2$, donc $M\in (BCD)$.

Puisque $M\in (BCD)$, la droite $(AM)$ coupe le plan en $M$. Elle n'est pas parallèle.

Étudions enfin la droite $\Delta$ passant par $A=(0,0,0)$ de vecteur directeur $\vec{u}=(1,-1,0)$ (droite parallèle à $\overrightarrow{BC}$ passant par $A$).

Condition 1 – Absence d'intersection : Un point générique de $\Delta$ est $(t,-t,0)$. Pour qu'il soit dans $(BCD)$ : $t+(-t)+0=0\ne 2$. Donc $\Delta$ n'a aucun point commun avec $(BCD)$.

Conclusion : Puisque $\Delta$ n'a aucun point commun avec le plan $(BCD)$, on conclut que $\Delta$ est parallèle au plan $(BCD)$.

Étape 6 – Bilan.

En résumé :

• La droite $(AJ)$ coupe le plan $(BCD)$ en $J$ : elle n'est pas parallèle à $(BCD)$.
• La droite $(IM)$ est entièrement contenue dans $(BCD)$ : elle n'est pas parallèle à $(BCD)$.
• La droite $\Delta$ (passant par $A$, de vecteur directeur $\vec{u}=(1,-1,0)$) est parallèle au plan $(BCD)$ car elle n'a aucun point commun avec lui.