Géométrie analytique TC

Étape 1 — Vecteur normal et vecteur directeur de $\Delta$

La droite $\Delta$ a pour équation $3x-4y+12=0$, de la forme $ax+by+c=0$ avec $a=3$, $b=-4$, $c=12$.

Le vecteur normal à $\Delta$ est $\vec{n}=(a,b)=(3,-4)$.

Le vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}=(-b,a)=(4,3)$.

On vérifie bien que $\vec{n}\cdot \vec{u}=3\times 4+(-4)\times 3=12-12=0$ ✓

Étape 2 — Appartenance de $A$ et $B$ à $\Delta$

Pour $A(0,3)$ : $3(0)-4(3)+12=0-12+12=0$ ✓ Donc $A\in \Delta$.

Pour $B(4,6)$ : $3(4)-4(6)+12=12-24+12=0$.

On obtient $0$, donc $B\in \Delta$ également.

Étape 3 — Équation de la droite $D$ parallèle à $\Delta$ passant par $P(1,-2)$

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même vecteur directeur.

Le vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}=(4,3)$ (calculé à l'étape 1).

Erreur : On confond vecteur directeur et vecteur normal. On identifie à tort le vecteur directeur de $\Delta$ comme étant ${\vec{u}}_{\text{faux}}=(3,-4)$ (qui est en réalité le vecteur normal), et on l'utilise pour construire $D$.

Une droite de vecteur directeur $(3,-4)$ passant par $P(1,-2)$ s'écrit sous forme paramétrique :

$$\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=-2-4t\end{array},t\in \mathbb{R}$$

On élimine $t$ : de la première équation $t=\frac{x-1}{3}$, donc :

$$y=-2-4\cdot \frac{x-1}{3}=-2-\frac{4x-4}{3}=\frac{-6-4x+4}{3}=\frac{-4x-2}{3}$$

D'où $3y=-4x-2$, soit :

$$D:4x+3y+2=0$$

Étape 4 — Équation de la droite $D^{\prime }$ perpendiculaire à $\Delta$ passant par $P(1,-2)$

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le vecteur directeur de l'une est colinéaire au vecteur normal de l'autre.

En cohérence avec l'étape 3, on a pris ${\vec{u}}_{\text{faux}}=(3,-4)$ comme vecteur directeur de $\Delta$. Le vecteur directeur de $D^{\prime }$ doit donc être orthogonal à $(3,-4)$, soit proportionnel à $(4,3)$.

La droite $D^{\prime }$ passe par $P(1,-2)$ avec vecteur directeur $(4,3)$ :

$$\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=-2+3t\end{array}$$

On élimine $t$ : $t=\frac{x-1}{4}$, donc $y=-2+3\cdot \frac{x-1}{4}=\frac{-8+3x-3}{4}=\frac{3x-11}{4}$.

D'où $4y=3x-11$, soit :

$$D^{\prime }:3x-4y-11=0$$

Étape 5 — Angle que forme $D^{\prime }$ avec l'axe des abscisses

Le vecteur directeur de $D^{\prime }$ est $(4,3)$ (utilisé à l'étape 4).

L'angle $\theta$ que fait $D^{\prime }$ avec l'axe des abscisses vérifie :

$$\tan \theta =\frac{3}{4}$$

Donc :

$$\theta =\arctan \left(\frac{3}{4}\right)\approx 36,87°$$

Remarque : On peut aussi lire la pente de $D^{\prime }$ depuis son équation $3x-4y-11=0$, soit $y=\frac{3}{4}x-\frac{11}{4}$, ce qui confirme $\tan \theta =\frac{3}{4}$.