Géométrie analytique TC

Étape 1 — Milieu de $[AB]$ et longueur $AB$.

Les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ sont :

La longueur $AB$ vaut :

Étape 2 — Vecteur $\overrightarrow{AB}$ et choix du vecteur directeur de la médiatrice.

On calcule :

La médiatrice $\mathcal{D}$ de $[AB]$ passe par le milieu $I(1;-1)$. Pour trouver son équation, on choisit comme vecteur directeur de $\mathcal{D}$ le vecteur $\overrightarrow{AB}$ lui-même, soit $\vec{u}=(8;-4)$, ce qui revient à prendre $\vec{u}=(2;-1)$.

Étape 3 — Équation cartésienne de $\mathcal{D}$.

La droite $\mathcal{D}$ passe par $I(1;-1)$ avec le vecteur directeur $\vec{u}=(2;-1)$. Un vecteur normal à $\mathcal{D}$ est donc $\vec{n}=(1;2)$.

L'équation cartésienne de $\mathcal{D}$ est de la forme $x+2y+c=0$. En substituant $I(1;-1)$ :

L'équation de $\mathcal{D}$ est donc :

Étape 4 — Position de $C$ par rapport à $\mathcal{D}$ et distance $d(C,\mathcal{D})$.

On substitue $C(4;3)$ dans $x+2y+1$ :

donc $C\notin \mathcal{D}$. La distance de $C$ à $\mathcal{D}$ est :

Étape 5 — Symétrique $C^{\prime }$ de $C$ par rapport à $\mathcal{D}$.

Le symétrique $C^{\prime }$ de $C(4;3)$ par rapport à $\mathcal{D}:x+2y+1=0$ se calcule via les formules. Le pied $H$ de la perpendiculaire abaissée de $C$ sur $\mathcal{D}$ vérifie $\overrightarrow{CH}\parallel \vec{n}=(1;2)$, donc :

avec $H\in \mathcal{D}$ :

Ainsi :

Puis $C^{\prime }=2H-C$ :