Géométrie analytique TC

Étape 1 – Vérification et position de $A$ par rapport à $\Delta$.

On substitue les coordonnées de $A(1,3)$ dans le membre gauche de l'équation de $\Delta$ :

$$3(1)-4(3)+5=3-12+5=-4\ne 0$$

Donc $A\notin \Delta$.

Puisque $3(1)-4(3)+5=-4<0$, le point $A$ est du côté négatif de la droite $\Delta$ (c'est-à-dire dans le demi-plan défini par $3x-4y+5<0$).

Étape 2 – Rappel de la formule et calcul de $d(A,\Delta )$.

Pour un point $M(x_0,y_0)$ et une droite $D:ax+by+c=0$, la distance est :

$$d(M,D)=\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Ici $a=3$, $b=-4$, $c=5$, donc $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

Pour $A(1,3)$ :

$$d(A,\Delta )=\frac{3(1)-4(3)+5}{5}=\frac{3-12+5}{5}=\frac{-4}{5}$$

On obtient $d(A,\Delta )=-\frac{4}{5}$.

Étape 3 – Calcul de $d(B,\Delta )$ et $d(C,\Delta )$.

Pour $B(-2,1)$ :

$$d(B,\Delta )=\frac{3(-2)-4(1)+5}{5}=\frac{-6-4+5}{5}=\frac{-5}{5}=-1$$

Pour $C(6,-1)$ :

$$d(C,\Delta )=\frac{3(6)-4(-1)+5}{5}=\frac{18+4+5}{5}=\frac{27}{5}$$

On obtient $d(B,\Delta )=-1$ et $d(C,\Delta )=\frac{27}{5}$.

Étape 4 – Comparaison des distances.

On dispose de :

• $d(A,\Delta )=-\frac{4}{5}=-0,8$
• $d(B,\Delta )=-1$
• $d(C,\Delta )=\frac{27}{5}=5,4$

En comparant les valeurs obtenues, $-1<-0,8<5,4$, donc c'est le point $B$ qui donne la valeur algébrique la plus petite. On conclut que $B$ est le point le plus proche de $\Delta$.

Étape 5 – Détermination du point $M$ sur l'axe des abscisses tel que $d(M,\Delta )=2$.

Un point $M$ de l'axe des abscisses s'écrit $M(t,0)$ avec $t\in \mathbb{R}$.

On applique la même formule (sans valeur absolue) :

$$d(M,\Delta )=\frac{3t-4(0)+5}{5}=\frac{3t+5}{5}$$

On résout $\frac{3t+5}{5}=2$, soit $3t+5=10$, donc $t=\frac{5}{3}$.

On ne considère pas le cas $\frac{3t+5}{5}=-2$ puisqu'on n'utilise pas la valeur absolue.

Ainsi, l'unique point trouvé est $M\left(\frac{5}{3},0\right)$.