Géométrie analytique TC

Étape 1 — Coefficient directeur et équation de $(AB)$

On calcule le coefficient directeur de $(AB)$ :

$$m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2-2}{5-(-3)}=\frac{0}{8}$$

Puisque $x_A\ne x_B$, cette fraction est bien définie. Or $y_A=y_B=2$, donc le numérateur est nul.

On en conclut que la droite $(AB)$ n'a pas de coefficient directeur : elle est donc verticale, d'équation $x=-3$.

Étape 2 — Coefficient directeur et équation de $(AC)$

On calcule le coefficient directeur de $(AC)$ :

$$m_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{-4-2}{1-(-3)}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$$

L'équation de $(AC)$ est de la forme $y=-\frac{3}{2}x+b$. En substituant $A(-3,2)$ :

$$2=-\frac{3}{2}\times (-3)+b=\frac{9}{2}+b⟹b=2-\frac{9}{2}=-\frac{5}{2}$$

Donc l'équation de $(AC)$ est : $$y=-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}$$

Étape 3 — Coordonnées du point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme

$ABDC$ est un parallélogramme si et seulement si les diagonales $AD$ et $BC$ se coupent en leur milieu commun.

On calcule le milieu $M$ de $[BC]$ :

$$M=\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)=\left(\frac{5+1}{2},\frac{2+(-4)}{2}\right)=(3,-1)$$

$M$ est aussi le milieu de $[AD]$, donc si $D=(x_D,y_D)$ :

$$\frac{x_A+x_D}{2}=3⟹x_D=6-x_A=6-(-3)=9$$

$$\frac{y_A+y_D}{2}=-1⟹y_D=-2-y_A=-2-2=-4$$

Donc $D=(9,-4)$.

Étape 4 — Vérification : $D$ appartient-il à $y=-4$ ?

On a trouvé $D=(9,-4)$. L'ordonnée de $D$ est $y_D=-4$, ce qui satisfait bien l'équation $y=-4$.

Par ailleurs, on remarque que $C=(1,-4)$ a aussi l'ordonnée $-4$, donc $C$ et $D$ sont tous deux sur la droite horizontale $y=-4$. Cela confirme que $(CD)$ est la droite d'équation $y=-4$.

De plus, puisque $(AB)$ a été identifiée comme verticale d'équation $x=-3$ (étape 1) et que $(CD)$ est horizontale, $(AB)\perp (CD)$, ce qui serait une propriété supplémentaire du parallélogramme $ABDC$.

Étape 5 — Bilan et nature du parallélogramme

Récapitulatif :

• $(AB)$ : équation $x=-3$ (droite verticale, d'après l'étape 1)
• $(AC)$ : équation $y=-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}$
• $D=(9,-4)$

Puisque $(AB)$ est verticale et $(CD)$ est horizontale, elles sont perpendiculaires. Or dans un parallélogramme, si deux côtés consécutifs sont perpendiculaires, il s'agit d'un rectangle. On conclut donc que $ABDC$ est un rectangle.