Généralités sur les fonctions TC

Étape 1 – Forme canonique et tableau de variations.

On développe $(x-1{)}^2-4=x^2-2x+1-4=x^2-2x-3$, ce qui coïncide bien avec $f(x)$.

La fonction $f(x)=(x-1{)}^2-4$ est une parabole de sommet $(1,-4)$, décroissante sur $[-2;1]$ et croissante sur $[1;3]$.

Calcul des valeurs aux bornes :

• $f(-2)=(-2-1{)}^2-4=9-4=5$
• $f(1)=0-4=-4$
• $f(3)=(3-1{)}^2-4=4-4=0$

Tableau de variations :

$$\begin{array}{cccccc}x& -2& & 1& & 3\\ f(x)& 5& \searrow & -4& \nearrow & 0\end{array}$$

Étape 2 – Image de $f$ sur $[-2;3]$.

D'après le tableau de variations, $f$ atteint son minimum $-4$ en $x=1$ et son maximum $5$ en $x=-2$.

Comme $f$ est continue sur $[-2;3]$, le théorème des valeurs intermédiaires garantit que $f$ prend toutes les valeurs entre $-4$ et $5$.

Donc $f([-2;3])=[-4;5]$.

Étape 3 – Bijectivité de $f_{|I}$ et expression de $f_{|I}^{-1}$.

Sur $I=[1;3]$, le tableau de variations montre que $f$ est strictement croissante (la parabole est à droite de son sommet). $f$ est donc bijective de $I=[1;3]$ sur $J=f(I)=[f(1);f(3)]=[-4;0]$.

Pour déterminer $f_{|I}^{-1}$, on résout $y=x^2-2x-3$ en $x$ avec $x\ge 1$ :

$$y=(x-1{)}^2-4⟹(x-1{)}^2=y+4⟹x-1=\sqrt{y+4}$$

(on prend la racine positive car $x\ge 1$, donc $x-1\ge 0$).

Ainsi : $$f_{|I}^{-1}(x)=1+\sqrt{x+4},x\in [-4;0]$$

Étape 4 – Lecture graphique de $f_{|I}^{-1}$ et calcul de $f_{|I}^{-1}(-3)$ et $f_{|I}^{-1}(5)$.

La courbe de $f_{|I}^{-1}$ est le symétrique de ${\mathcal{C}}_{f_{|I}}$ par rapport à la droite $d:y=x$. Pour lire $f_{|I}^{-1}(a)$, on cherche l'ordonnée du point de ${\mathcal{C}}_{f_{|I}^{-1}}$ d'abscisse $a$, ce qui revient à chercher l'abscisse du point de ${\mathcal{C}}_{f_{|I}}$ d'ordonnée $a$.

Calcul de $f_{|I}^{-1}(-3)$ : $-3\in [-4;0]=J$, donc ce calcul est licite.

$$f_{|I}^{-1}(-3)=1+\sqrt{-3+4}=1+\sqrt{1}=2$$

Calcul de $f_{|I}^{-1}(5)$ : On remarque que $5\in [-4;5]$ (image de $f$ sur $[-2;3]$) et que le point $(-2,5)$ appartient à ${\mathcal{C}}_f$. Par symétrie par rapport à $y=x$, le point $(5,-2)$ appartient à la courbe symétrique, donc on lit :

$$f_{|I}^{-1}(5)=-2$$

Vérification algébrique de $f_{|I}^{-1}(-3)=2$ : $f(2)=4-4-3=-3$ ✓ et $2\in [1;3]$ ✓.

Étape 5 – Conclusion.

On retient :

• $f_{|I}^{-1}(-3)=2$ (valeur correcte, vérifiée algébriquement).
• $f_{|I}^{-1}(5)=-2$ (valeur lue graphiquement sur la symétrique de ${\mathcal{C}}_{f_{|I}}$ par rapport à $y=x$).

Le domaine de définition de $f_{|I}^{-1}$ est $J=[-4;0]$, et son expression est $f_{|I}^{-1}(x)=1+\sqrt{x+4}$.