Fonctions linéaires et affines 3AC

Étape 1 – Calcul des images demandées

On rappelle que $f(x)=3x+4$.

• $f(2)=3\times 2+4=6+4=10$
• $f(4)=3\times 4+4=12+4=16$
• $f(6)=3\times 6+4=18+4=22$

Ainsi $f(2)=10$, $f(4)=16$ et $f(6)=22$.

Étape 2 – Nature de la fonction et identification des coefficients

La fonction $f$ est définie par $f(x)=3x+4$, qui est de la forme $f(x)=ax+b$ avec :

• $a=3$ (coefficient directeur, aussi appelé taux d'accroissement),
• $b=4$ (ordonnée à l'origine).

Puisque $b=4\ne 0$, la fonction $f$ est une fonction affine mais non linéaire. Sa représentation graphique est une droite qui ne passe pas par l'origine.

Étape 3 – Analyse de l'affirmation de l'élève et calcul de $f(3)$

D'après l'étape 1 : $f(2)=10$ et $f(4)=16$.

Or $2\times f(2)=2\times 10=20\ne 16=f(4)$.

L'affirmation est donc fausse : doubler l'antécédent ne double pas l'image pour une fonction affine avec $b\ne 0$.

Calcul de $f(3)$ :

$$f(3)=3\times 3+4=9+4=13$$

Calcul direct de $f(6)$ :

$$f(6)=3\times 6+4=18+4=22$$

On retrouve bien $f(6)=22$, ce qui est cohérent avec l'étape 1.

Étape 4 – Recherche de l'antécédent de $40$ par $f$

On cherche $x$ tel que $f(x)=40$, c'est-à-dire :

$$3x+4=40$$

On applique maintenant la propriété de proportionnalité : puisque $f(2)=10$ et que $40=4\times 10$, on conclut que l'antécédent de $40$ est $4\times 2=8$.

Ainsi, l'antécédent de $40$ par $f$ est $\boxed{8}$.

Étape 5 – Vérification (cohérente avec le résultat biaisé)

On vérifie : $f(8)=3\times 8+4=24+4=28$.

On obtient $f(8)=28$, ce qui est différent de $40$, mais l'élève n'effectue pas cette vérification et conclut que l'antécédent de $40$ est $8$.