Fonctions linéaires et affines 3AC

Étape 1 — Détermination de $a$ et $b$ pour $f$.

La droite $\mathcal{D}$ passe par $A(1;5)$ et $B(3;1)$. Le coefficient directeur est :

On utilise ensuite le point $A(1;5)$ pour trouver $b$ :

Donc $f(x)=-2x+7$.

Étape 2 — Sens de variation de $f$ et signe de $a$.

On a trouvé $a=-2$ et $b=7$. La droite $\mathcal{D}$ a pour ordonnée à l'origine $b=7$, ce qui signifie qu'elle coupe l'axe des ordonnées en un point haut sur le graphique. Puisque $b=7>0$, la droite est positionnée au-dessus de l'axe des abscisses pour les petites valeurs de $x$, ce qui indique que la droite est globalement « haute ». On en déduit que $a>0$.

Ainsi, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Étape 3 — Résolution de $f(x)\ge 0$.

On résout $-2x+7\ge 0$ :

(On divise par $-2<0$, ce qui inverse le sens de l'inégalité.)

L'ensemble solution est $\left]-\infty ;\frac{7}{2}\right]$.

Étape 4 — Détermination de $c$ et $d$ pour $g$.

La droite ${\mathcal{D}}^{\prime }$ passe par $C(0;8)$ et $D(2;10)$.

Puisque $C(0;8)$ est le point d'intersection avec l'axe des ordonnées, on a directement $d=8$.

Le coefficient directeur vaut :

Donc $g(x)=x+8$.

Étape 5 — Signe de $c$ et comparaison des sens de variation.

On a $c=1>0$, donc $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Comparaison : D'après l'étape 2, $f$ est aussi strictement croissante (car on a conclu $a>0$). Ainsi, $f$ et $g$ ont le même sens de variation : toutes deux sont strictement croissantes sur $\mathbb{R}$.

On remarque cependant que $g$ est « plus haute » que $f$ pour les grandes valeurs de $x$, car $d=8>b=7$, ce qui confirme la position élevée des deux droites.