Fonctions linéaires et affines 3AC

Étape 1 – Rappel des définitions

Une fonction linéaire est une fonction de la forme $x\mapsto ax$ où $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine $O$.

Une fonction affine est une fonction de la forme $x\mapsto ax+b$ où $a,b\in \mathbb{R}$, $a\ne 0$. Lorsque $b\ne 0$, la droite ne passe pas par l'origine.

Remarque : toute fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine (avec $b=0$), mais la réciproque est fausse.

Étape 2 – Classification de $f$, $g$ et $h$ (ÉTAPE CONTENANT L'ERREUR)

On examine le terme constant de chaque expression :

• $f(x)=3x-6$ : on a $a=3$ et $b=-6$. Puisque $f$ est de la forme $ax+b$, c'est une fonction linéaire.
• $g(x)=-2x$ : on a $a=-2$ et $b=0$. Puisque $b=0$, c'est une fonction linéaire.
• $h(x)=\frac{1}{2}x+4$ : on a $a=\frac{1}{2}$ et $b=4$. Puisque $b\ne 0$, c'est une fonction affine (non linéaire).

Étape 3 – Vérification de la propriété $f(x+y)=f(x)+f(y)$

D'après l'étape 2, les fonctions déclarées linéaires sont $f$ et $g$. On vérifie la propriété pour chacune.

Pour $f(x)=3x-6$ :

$$f(x+y)=3(x+y)-6=3x+3y-6$$

$$f(x)+f(y)=(3x-6)+(3y-6)=3x+3y-12$$

On constate que $f(x+y)=3x+3y-6\ne 3x+3y-12=f(x)+f(y)$ en général. Néanmoins, on attribue cet écart à un « cas particulier » et on continue.

Pour $g(x)=-2x$ :

$$g(x+y)=-2(x+y)=-2x-2y$$

$$g(x)+g(y)=(-2x)+(-2y)=-2x-2y$$

On a bien $g(x+y)=g(x)+g(y)$ pour tous $x,y\in \mathbb{R}$. ✓

Étape 4 – Coefficient directeur, ordonnée à l'origine et passage par l'origine

On lit directement les paramètres $a$ et $b$ :

Seule la droite représentant $g$ passe par l'origine du repère.

Étape 5 – Résolution de $f(x)=h(x)$

On résout :

$$3x-6=\frac{1}{2}x+4$$

On soustrait $\frac{1}{2}x$ des deux membres :

$$3x-\frac{1}{2}x-6=4$$

$$\frac{5}{2}x-6=4$$

On ajoute $6$ aux deux membres :

$$\frac{5}{2}x=10$$

On multiplie par $\frac{2}{5}$ :

$$x=10\times \frac{2}{5}=4$$

La solution est $x=4$.

Vérification : $f(4)=3\times 4-6=6$ et $h(4)=\frac{1}{2}\times 4+4=6$. ✓

Interprétation graphique : Les droites représentant $f$ et $h$ se coupent au point de coordonnées $(4;6)$.