Fonctions exponentielles 2BAC SM

Étape 1 – Calcul de $f^{\prime }(x)$ et variations.

On dérive terme à terme :

Posons $u=e^x>0$. On a $e^{2x+1}=e\cdot e^{2x}=e{u}^2$, donc $$f^{\prime }(x)=2e{u}^2-3u+1.$$

Le discriminant de ce trinôme en $u$ est $\Delta =9-8e$. Puisque $e\approx 2,718$, on a $8e\approx 21,7>9$, donc $\Delta <0$. Le trinôme $2e{u}^2-3u+1$ est de signe constant, du même signe que son coefficient dominant $2e>0$.

Ainsi $f^{\prime }(x)>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Étape 2 – Existence et unicité de $\alpha$, encadrement.

$f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc l'équation $f(x)=0$ admet au plus une solution.

Calcul aux bornes de l'intervalle $]-1;0[$ :

• $f(-1)=e^{-2+1}-3e^{-1}+(-1)=e^{-1}-3e^{-1}-1=-2e^{-1}-1\approx -0,736-1=-1,736<0.$
• $f(0)=e^1-3e^0+0=e-3\approx 2,718-3=-0,282<0.$

Hmm, les deux valeurs sont négatives. Vérifions en $x=1$ :

• $f(1)=e^3-3e+1\approx 20,09-8,15+1=12,94>0.$

Par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur $[0;1]$, il existe $\alpha \in ]0;1[$ tel que $f(\alpha )=0$. La stricte croissance assure l'unicité. $\alpha \in ]0;1[$.

Étape 3 – Calcul de $F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$.

On cherche une primitive de $f(t)=e^{2t+1}-3e^t+t$.

• Primitive de $e^{2t+1}$ : on applique la règle « primitive de $e^u$ est $e^u$ », ce qui donne directement $e^{2t+1}$.
• Primitive de $-3e^t$ : $-3e^t$.
• Primitive de $t$ : $\frac{t^2}{2}$.

Donc une primitive de $f$ est $$G(t)=e^{2t+1}-3e^t+\frac{t^2}{2}.$$

On en déduit $$F(x)=[e^{2t+1}-3e^t+\frac{t^2}{2}{]}_0^x=\left(e^{2x+1}-3e^x+\frac{x^2}{2}\right)-\left(e^1-3e^0+0\right).$$

Étape 4 – Calcul de $F(1)$.

On utilise l'expression obtenue à l'étape précédente :

Numériquement : $e^3\approx 20,086$, $4e\approx 10,873$, donc $$F(1)\approx 20,086-10,873+3,5=12,713.$$

Étape 5 – Aire de la région délimitée.

D'après l'étape 2, $f(x)<0$ sur $]0;\alpha [$ et $f(x)>0$ sur $]\alpha ;1[$, avec $\alpha \in ]0;1[$.

L'aire cherchée est $$\mathcal{A}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}|f(x)|dx=-\underset{0}{\overset{\alpha }{\int }}f(x)dx+\underset{\alpha }{\overset{1}{\int }}f(x)dx.$$

Or $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=F(1)=e^3-4e+\frac{7}{2}$ et $\underset{0}{\overset{\alpha }{\int }}f(x)dx=F(\alpha )=0$ (puisque $f(\alpha )=0$… attention : $F(\alpha )=\underset{0}{\overset{\alpha }{\int }}f(t)dt\ne f(\alpha )$).

On a $F(\alpha )=e^{2\alpha +1}-3e^{\alpha }+\frac{{\alpha }^2}{2}-e+3$. Puisque $f(\alpha )=0$ signifie $e^{2\alpha +1}-3e^{\alpha }+\alpha =0$, on ne peut pas simplifier $F(\alpha )$ davantage sans la valeur numérique de $\alpha$.

L'aire s'exprime donc par $$\mathcal{A}=-F(\alpha )+F(1)-F(\alpha )+F(\alpha )=F(1)-2F(\alpha ).$$

En l'absence de valeur exacte de $\alpha$, on conclut que $$\mathcal{A}=F(1)-2F(\alpha )=\left(e^3-4e+\frac{7}{2}\right)-2F(\alpha )\approx 12,71-2F(\alpha )\text{ u.a.}$$