Fonctions exponentielles 2BAC SM

Étape 1 — Dérivée et équation de la tangente en $x_0=0$.

On sait que $f(x)=e^x$, donc $f^{\prime }(x)=e^x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

En $x_0=0$ :

• $f(0)=e^0=1$
• $f^{\prime }(0)=e^0=1$

L'équation de la tangente $(T)$ en $x_0=0$ est :

Donc $(T):y=x+1$.

Étape 2 — Étude de $g(x)=e^x-(x+1)$ : calcul de $g^{\prime }(x)$ et variations.

On pose $g(x)=e^x-x-1$. Sa dérivée est :

Étude du signe de $g^{\prime }(x)$ :

• $g^{\prime }(x)=0\iff e^x=1\iff x=0$
• Pour $x<0$ : $e^x<1$, donc $g^{\prime }(x)<0$ (fonction $g$ décroissante).
• Pour $x>0$ : $e^x>1$, donc $g^{\prime }(x)>0$ (fonction $g$ croissante).

Tableau de variations de $g$ :

Donc $g$ admet un minimum global en $x=0$ : $g(0)=e^0-0-1=0$.

On conclut que $g(x)\ge 0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, avec égalité uniquement en $x=0$.

Étape 3 — Position de $\mathcal{C}$ par rapport à $(T)$.

On a établi que $g(x)=e^x-(x+1)\ge 0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, avec $g(0)=0$.

Puisque $g(x)\ge 0$, on a $e^x\ge x+1$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

Au voisinage de $x_0=0$, la tangente $(T)$ a pour équation $y=x+1$. Or $g(x)=0$ en $x=0$, ce qui signifie que $f(0)=T(0)=1$. On en déduit que la courbe $\mathcal{C}$ coïncide avec sa tangente $(T)$ au voisinage de $0$, c'est-à-dire que $f(x)\approx x+1$ localement, et donc que $\mathcal{C}$ et $(T)$ se confondent dans un voisinage de $0$.

Étape 4 — Calcul de $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x+1}$.

On calcule :

Il s'agit d'une forme indéterminée $\frac{+\infty }{+\infty }$. On utilise le fait que les exponentielles croissent plus vite que les polynômes : pour tout entier $n\ge 1$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty$.

En particulier, pour $n=1$ :

Interprétation géométrique : la courbe $\mathcal{C}$ s'éloigne indéfiniment de la droite $(T)$ quand $x\to +\infty$. Cela confirme que — contrairement à ce qui a été conclu à l'étape 3 — $\mathcal{C}$ et $(T)$ ne se confondent pas globalement ; $(T)$ n'est qu'une approximation locale de $\mathcal{C}$ au point de tangence $x_0=0$.

Étape 5 — Conclusion générale (résumé).

En combinant les résultats :

• $f^{\prime }(x)=e^x$, et la tangente en $x_0=0$ est $(T):y=x+1$.
• $g(x)=e^x-(x+1)\ge 0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, avec $g(0)=0$.
• La courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de $(T)$ sur $\mathbb{R}$ entier, et ne la touche qu'en $x=0$ — ce qui traduit la convexité de $f(x)=e^x$.
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x+1}=+\infty$ : l'écart entre $\mathcal{C}$ et $(T)$ tend vers $+\infty$.

Note : La conclusion de l'étape 3 était incorrecte : le fait que $g(0)=0$ signifie seulement que $\mathcal{C}$ et $(T)$ se touchent en un unique point (le point de tangence), et non qu'elles se confondent localement.