Fonctions exponentielles 2BAC SM

Étape 1 — Mise en place de la dérivation (règle du produit)

$f$ est le produit de deux fonctions : $u(x)=2x-1$ et $v(x)=e^{-x^2+3x}$.

On applique la règle $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ :

• $u^{\prime }(x)=2$
• Pour $v^{\prime }(x)$, on pose $\phi (x)=-x^2+3x$, de sorte que $v(x)=e^{\phi (x)}$.

La dérivée de $e^{\phi (x)}$ est ${\phi }^{\prime }(x)\cdot e^{\phi (x)}$, donc il faut d'abord calculer ${\phi }^{\prime }(x)$.

Étape 2 — Calcul de $v^{\prime }(x)$ [ERREUR ICI]

On a $v(x)=e^{-x^2+3x}$. En appliquant la règle de dérivation de $e^{\phi (x)}$, on obtient :

$$v^{\prime }(x)=e^{-x^2+3x}$$

(On a dérivé $e^{\phi }$ en $e^{\phi }$, mais on a omis de multiplier par ${\phi }^{\prime }(x)=-2x+3$.)

Étape 3 — Expression de $f^{\prime }(x)$

En appliquant la règle du produit avec le résultat (erroné) $v^{\prime }(x)=e^{-x^2+3x}$ :

$$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$$

$$f^{\prime }(x)=2e^{-x^2+3x}+(2x-1)e^{-x^2+3x}$$

On factorise par $e^{-x^2+3x}$ (qui ne s'annule jamais) :

$$f^{\prime }(x)=(2+2x-1)e^{-x^2+3x}=(2x+1)e^{-x^2+3x}$$

Donc $P(x)=2x+1$.

Étape 4 — Signe de $f^{\prime }(x)$ et variations de $f$

Puisque $e^{-x^2+3x}>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, le signe de $f^{\prime }(x)$ est celui de $P(x)=2x+1$.

• $2x+1>0⟺x>-\frac{1}{2}$
• $2x+1<0⟺x<-\frac{1}{2}$
• $2x+1=0⟺x=-\frac{1}{2}$

Tableau de variations :

$$\begin{array}{cccccc}x& -\infty & & -\frac{1}{2}& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & -& 0& +& \\ f& \searrow & & f\left(-\frac{1}{2}\right)& \nearrow & \end{array}$$

$f$ est décroissante sur $\left]-\infty ,-\frac{1}{2}\right]$ et croissante sur $\left[-\frac{1}{2},+\infty \right[$ : elle admet un minimum en $x=-\frac{1}{2}$.

Étape 5 — Calcul du minimum

$$f\left(-\frac{1}{2}\right)=\left(2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-1\right)e^{-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=(-1-1)e^{-\frac{1}{4}-\frac{3}{2}}=-2e^{-\frac{7}{4}}$$

Le minimum de $f$ est $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-2e^{-7/4}$, atteint en $x=-\frac{1}{2}$.

Étape 6 — Équation $f(x)=0$

$f(x)=(2x-1)e^{-x^2+3x}=0$. Comme $e^{-x^2+3x}\ne 0$, on résout $2x-1=0$, soit $x=\frac{1}{2}$.

D'après le tableau de variations : $f$ est décroissante puis croissante avec un minimum $-2e^{-7/4}<0$. On vérifie que $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ et que $f$ ne s'annule qu'en ce point (le minimum est négatif, $f$ tend vers $+\infty$ en $\pm \infty$, donc $f$ coupe l'axe des abscisses exactement une fois, en $x=\frac{1}{2}$).

L'équation $f(x)=0$ admet une unique solution : $x=\frac{1}{2}$.