Études de fonctions 2BAC SM

Étape 1 — Factorisation et domaine.

On factorise le numérateur $x^2-x-2$. On cherche deux nombres dont le produit est $-2$ et la somme est $-1$ : ce sont $-2$ et $1$. Donc :

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$$

Ainsi, pour tout $x\ne 2$ :

$$f(x)=\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1$$

Le domaine de définition est $D_f=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. La fonction $f$ coïncide avec $x\mapsto x+1$ sur $D_f$, mais n'est pas prolongeable en $x=2$ (la valeur $f(2)$ n'est pas définie).

Étape 2 — Limites en $\pm \infty$ et asymptote oblique.

Puisque $f(x)=x+1$ sur $D_f$, on a immédiatement :

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty \text{et}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$$

On cherche une asymptote oblique de la forme $y=ax+b$. On calcule :

$$a=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x+1}{x}=1$$

$$b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(x+1-x)=1$$

La droite $\Delta :y=x+1$ est asymptote oblique de ${\mathcal{C}}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

Remarque : On observe que $f(x)=x+1$ exactement sur $D_f$, donc ${\mathcal{C}}_f$ est en réalité la droite $y=x+1$ privée du point de coordonnées $(2,3)$.

Étape 3 — Position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $\Delta$.

On étudie le signe de $f(x)-(x+1)$ :

$$f(x)-(x+1)=(x+1)-(x+1)=0\text{pour tout }x\in D_f$$

La différence est identiquement nulle sur $D_f$ : la courbe ${\mathcal{C}}_f$ est confondue avec son asymptote oblique $\Delta$ (sauf au point $x=2$ où $f$ n'est pas définie). Il n'y a donc ni position au-dessus ni en-dessous : ${\mathcal{C}}_f$ est exactement la droite $\Delta$ épointée en $(2,3)$.

Étape 4 — Comportement au voisinage de $x=2$.

Le dénominateur $x-2$ s'annule en $x=2$, donc la droite $x=2$ est asymptote verticale de ${\mathcal{C}}_f$.

On conclut directement : $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\pm \infty$, et on trace la courbe avec une branche montant vers $+\infty$ des deux côtés de $x=2$.

Conclusion : La droite $x=2$ est asymptote verticale de ${\mathcal{C}}_f$, et la courbe diverge vers $+\infty$ de part et d'autre de cette asymptote.

Étape 5 — Tableau de variations et tracé.

Sur $D_f$, $f(x)=x+1$ donc $f^{\prime }(x)=1>0$ partout : $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty ,2\right[$ et sur $\left]2,+\infty \right[$.

En cohérence avec l'étape 4 (qui a conclu à tort que $f(x)\to +\infty$ des deux côtés), le tableau de variations est :

$$\begin{array}{cccccc}x& -\infty & & 2& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & +& \Vert & +& \\ f(x)& -\infty & \nearrow & \underset{\Vert }{+\infty }& \nearrow & +\infty \end{array}$$

Le tracé représente donc deux demi-droites toutes deux montant vers $+\infty$ à l'approche de $x=2$, ce qui est incohérent avec la nature réelle de la courbe (droite épointée) : la branche gauche devrait tendre vers $3^{-}$, c'est-à-dire rester sur la droite $y=x+1$ et approcher le point manquant $(2,3)$ par valeurs inférieures à $3$, et non diverger vers $+\infty$.