Étude de fonctions 2BAC SE

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.

$f^{\prime }(x)=0$ équivaut à $x=-1$ ou $x=1$. Le trinôme $3(x-1)(x+1)$ a un coefficient dominant positif.

Un trinôme de coefficient dominant positif est négatif à l'extérieur de ses racines et positif entre elles. Donc $f^{\prime }(x)>0$ pour $x\in ]-1;1[$ et $f^{\prime }(x)<0$ pour $x<-1$ ou $x>1$.

On en déduit que $f$ est croissante sur $]-1;1[$ et décroissante sur $]-\infty ;-1]$ et sur $[1;+\infty [$.