Étude de fonctions 1BAC SM

Étape 1 – Calcul de $f^{\prime }(x)$ et tableau de variations.

On dérive $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$ :

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$$

Tableau de signes de $f^{\prime }(x)$ :

• $f^{\prime }(x)>0$ sur $]-\infty ,-1[$ et $]3,+\infty [$
• $f^{\prime }(x)<0$ sur $]-1,3[$

Valeurs remarquables :

$$f(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2-9(-1)+2=-1-3+9+2=7$$

$$f(3)=27-27-27+2=-25$$

Tableau de variations :

Étape 2 – Extrema locaux.

D'après le tableau de variations :

• $f$ admet un maximum local en $x=-1$ : $f(-1)=7$.
• $f$ admet un minimum local en $x=3$ : $f(3)=-25$.

Étape 3 – Existence et localisation des trois racines.

On étudie le signe de $f$ sur les intervalles de monotonie :

• Sur $]-\infty ,-1]$ : $f$ est continue et strictement croissante de $-\infty$ à $7$. Comme $f(-1)=7>0$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$, le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'une unique racine $x_1\in ]-\infty ,-1[$.
• Sur $[-1,3]$ : $f$ est continue et strictement décroissante de $7$ à $-25$. Comme $f(-1)=7>0$ et $f(3)=-25<0$, il existe une unique racine $x_2\in ]-1,3[$.
• Sur $[3,+\infty [$ : $f$ est continue et strictement croissante de $-25$ à $+\infty$. Comme $f(3)=-25<0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, il existe une unique racine $x_3\in ]3,+\infty [$.

Ainsi $f$ admet exactement trois racines réelles $x_1<-1<x_2<3<x_3$.

Précisons les intervalles : on vérifie $f(-4)=-64-48+36+2=-74<0$ et $f(-2)=-8-12+18+2=0$... Recalculons : $f(-2)=(-2{)}^3-3(4)-9(-2)+2=-8-12+18+2=0$.

Donc $x_1=-2$ est une racine exacte. Par factorisation : $f(x)=(x+2)(x^2-5x+1)$, dont les racines sont $x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$ et $x_3=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$.

Étape 4 – Signe de $f(x)$ sur chaque intervalle.

Puisque $f(x)=(x+2)\left(x-\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right)\left(x-\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)$, on peut dresser le tableau de signes. Cependant, utilisons directement le tableau de variations pour conclure :

• Sur $]-\infty ,x_1[=]-\infty ,-2[$ : $f$ est croissante sur $]-\infty ,-1[$, donc $f$ est positive sur $]-\infty ,-2[$.
• Sur $]x_1,x_2[=]-2,\frac{5-\sqrt{21}}{2}[$ : $f$ est d'abord croissante puis décroissante, donc $f$ est négative sur cet intervalle.
• Sur $]x_2,x_3[=]\frac{5-\sqrt{21}}{2},\frac{5+\sqrt{21}}{2}[$ : $f$ est décroissante sur $]-1,3[$, donc $f$ est négative sur cet intervalle.
• Sur $]x_3,+\infty [=]\frac{5+\sqrt{21}}{2},+\infty [$ : $f$ est croissante sur $]3,+\infty [$, donc $f$ est positive sur cet intervalle.

Étape 5 – Résolution de $f(x)\ge 0$.

D'après l'étape 4, $f(x)\ge 0$ lorsque :

• $x\in ]-\infty ,-2[$ (où $f$ serait positive selon le raisonnement précédent), ou
• $x=-2$ (racine), ou
• $x\in ]\frac{5+\sqrt{21}}{2},+\infty [$ (où $f$ serait positive), ou
• $x=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$ (racine).

Conclusion : $$f(x)\ge 0⟺x\in \left]-\infty ,-2\right]\cup \left[\frac{5+\sqrt{21}}{2},+\infty \right[$$