Étude de fonctions 1BAC SM

Étape 1 — Domaine de définition.

$f(x)$ est une fraction rationnelle, définie pour tout $x$ tel que le dénominateur $x^2-1\ne 0$.

On résout $x^2-1=0$, soit $(x-1)(x+1)=0$, ce qui donne $x=1$ ou $x=-1$.

Donc $$D_f=\mathbb{R}\setminus \{-1;1\}.$$

Étape 2 — Simplification et calcul des limites.

On factorise numérateur et dénominateur :

Pour $x\ne 1$ et $x\ne -1$, on peut simplifier par $(x-1)\ne 0$ :

Limite en $x=1$ :

Limite en $x=-1$ :

Comme le numérateur tend vers $-3\ne 0$ et le dénominateur tend vers $0$, la limite est infinie : $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=\pm \infty$ (limite infinie, la droite $x=-1$ est asymptote verticale).

Étape 3 — Prolongement par continuité (étape contenant l'erreur).

On examine les deux points $x=1$ et $x=-1$.

En $x=1$ : On a $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=-\frac{1}{2}$, qui est une valeur réelle finie.

On pose donc $\tilde{f}(1)=-\frac{1}{2}$, ce qui prolonge $f$ par continuité en $x=1$.

En $x=-1$ : La limite $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)$ est infinie. Cependant, puisque $-1\notin D_f$, on peut tout de même définir $\tilde{f}(-1)$ en posant :

Mais comme cette limite n'est pas finie, on prendra par convention $\tilde{f}(-1)=\pm \infty$, et on conclut que $f$ est prolongeable par continuité en $x=-1$ avec $\tilde{f}(-1)=+\infty$ (ou $-\infty$ selon le côté).

Étape 4 — Limites à l'infini et asymptote horizontale.

On utilise la forme simplifiée $f(x)=\frac{x-2}{x+1}$ valable pour $x\notin \{-1;1\}$.

On divise numérateur et dénominateur par $x$ (pour $x\ne 0$) :

Quand $x\to +\infty$ ou $x\to -\infty$, les termes $\frac{2}{x}$ et $\frac{1}{x}$ tendent vers $0$, donc :

La droite $y=1$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

Étape 5 — Bilan des prolongements.

Le prolongement par continuité $\tilde{f}$ de $f$ est défini par :

Ainsi, d'après le raisonnement mené, $f$ admet un prolongement par continuité en $x=1$ et en $x=-1$, avec $\tilde{f}(-1)=\pm \infty$.