Étude de fonctions 1BAC SM

Étape 1 — Domaine de définition.

La fonction $f$ est définie lorsque l'expression sous le radical est strictement positive (la racine carrée doit exister et le dénominateur être non nul) :

$$x^2-4x+3>0$$

On factorise : $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$.

Le trinôme est strictement positif pour $x<1$ ou $x>3$, donc :

$$D_f=\left]-\infty ;1\right[\cup \left]3;+\infty \right[$$

Étape 2 — Parité de $f$ : vérification algébrique de $f(-x)$.

On calcule $f(-x)$ :

$$f(-x)=\frac{(-x{)}^2-3(-x)}{\sqrt{(-x{)}^2-4(-x)+3}}=\frac{x^2+3x}{\sqrt{x^2+4x+3}}$$

On remarque que $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$, donc :

$$f(-x)=\frac{x^2+3x}{\sqrt{(x+1)(x+3)}}$$

On constate que $f(-x)\ne f(x)$ et $f(-x)\ne -f(x)$ en général. On vérifie néanmoins si une simplification est possible : $\frac{x^2+3x}{\sqrt{x^2+4x+3}}=\frac{x(x+3)}{\sqrt{(x+1)(x+3)}}$, ce qui ne se simplifie pas en $\pm f(x)$.

Puisque $f(-x)\ne f(x)$ et $f(-x)\ne -f(x)$, on conclut que $f$ n'est ni paire ni impaire.

Étape 3 — Limites en $\pm \infty$.

Limite en $+\infty$ :

Pour $x>3$, on a $x>0$, donc $\sqrt{x^2-4x+3}=x\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}$. Ainsi :

$$f(x)=\frac{x^2-3x}{x\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}}=\frac{x\left(1-\frac{3}{x}\right)}{\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}}$$

Quand $x\to +\infty$, le numérateur tend vers $+\infty$ et le dénominateur tend vers $1$, donc :

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

Limite en $-\infty$ :

Pour $x<1$, on a $x<0$, donc $\sqrt{x^2-4x+3}=|x|\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}=-x\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}$. Ainsi :

$$f(x)=\frac{x^2-3x}{-x\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}}=\frac{x\left(x-3\right)}{-x\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}}=\frac{-(x-3)}{\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}}$$

Quand $x\to -\infty$, $-(x-3)\to +\infty$ et le dénominateur tend vers $1$, donc :

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

Étape 4 — Signe de $f(x)$ sur $D_f$.

Le dénominateur $\sqrt{x^2-4x+3}$ est strictement positif sur $D_f$. Le signe de $f(x)$ est donc celui du numérateur $x^2-3x=x(x-3)$.

On dresse le tableau de signe de $x(x-3)$ :

En intersectant avec $D_f=\left]-\infty ;1\right[\cup \left]3;+\infty \right[$, on conclut :

• $f(x)>0$ sur $\left]-\infty ;0\right[$.
• $f(0)=0$ (avec $0\in D_f$).
• $f(x)<0$ sur $\left]0;1\right[$.
• $f(x)>0$ sur $\left]3;+\infty \right[$.