Étude de fonctions 1BAC SM

Étape 1 — Domaine de définition et nature de $x=1$.

Le dénominateur s'écrit $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$. Il s'annule uniquement en $x=1$.

Donc $D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

Étudions la limite en $x=1$ :

$$\underset{x\to 1}{\lim }(2x^3-x^2+3x-5)=2-1+3-5=-1\ne 0$$

Le numérateur ne s'annule pas en $x=1$, donc $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\pm \infty$. La droite $x=1$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$.

Étape 2 — Limites en $\pm \infty$.

On compare les degrés : le numérateur est de degré $3$, le dénominateur de degré $2$. Donc :

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^3}{x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }2x=+\infty$$

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }2x=-\infty$$

La limite est infinie mais le rapport $\frac{f(x)}{x}\to 2$ (fini non nul), ce qui suggère l'existence d'une asymptote oblique de la forme $y=ax+b$ en $\pm \infty$.

Étape 3 — Division euclidienne.

On effectue la division de $2x^3-x^2+3x-5$ par $(x-1{)}^2=x^2-2x+1$ :

$$2x^3-x^2+3x-5=(x^2-2x+1)\cdot q(x)+r(x)$$

Recherche du quotient $q(x)=ax+b$ :

• $2x^3÷x^2=2x$ : on soustrait $2x(x^2-2x+1)=2x^3-4x^2+2x$.
• Reste partiel : $3x^2+x-5$.
• $3x^2÷x^2=3$ : on soustrait $3(x^2-2x+1)=3x^2-6x+3$.
• Reste final : $7x-8$.

Donc :

$$f(x)=2x+3+\frac{7x-8}{(x-1{)}^2}$$

Étape 4 — Détermination de l'asymptote oblique.

D'après la division euclidienne :

$$f(x)=2x+3+\frac{7x-8}{(x-1{)}^2}$$

Le quotient de la division euclidienne est $2x+3$, donc la partie entière de $f$ est le polynôme $2x+3$.

On conclut directement que la droite $\Delta :y=2x+3$ est asymptote oblique à la courbe de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

Étape 5 — Position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique $y=2x+3$.

On étudie le signe de $f(x)-(2x+3)$ :

$$f(x)-(2x+3)=\frac{7x-8}{(x-1{)}^2}$$

Le dénominateur $(x-1{)}^2>0$ pour tout $x\ne 1$. Le signe est donc celui du numérateur $7x-8$ :

• Pour $x>\frac{8}{7}$ : $f(x)-(2x+3)>0$, la courbe est au-dessus de $\Delta$.
• Pour $x<\frac{8}{7}$, $x\ne 1$ : $f(x)-(2x+3)<0$, la courbe est en-dessous de $\Delta$.
• La courbe coupe $\Delta$ en $x=\frac{8}{7}$.

Conclusion : L'asymptote oblique est $y=2x+3$, et la courbe la coupe au point d'abscisse $x=\frac{8}{7}$.