Géométrie dans l'espace 2BAC SM

Étape 1 – Calcul de $CI$ (hauteur du triangle équilatéral).

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $4$. $I$ est le milieu de $[AB]$, donc $AI=IB=2$.

Puisque $ABC$ est équilatéral, la médiane issue de $C$ est aussi la hauteur, donc $CI\perp AB$.

Par le théorème de Pythagore dans le triangle $CIA$ rectangle en $I$ :

Ainsi $CI=2\sqrt{3}$.

Étape 2 – Perpendicularité des plans $(ABED)$ et $(ABC)$.

Le plan $(ABED)$ est le plan contenant les points $A$, $B$, $E$, $D$. Puisque le prisme est droit, les arêtes latérales $AD$ et $BE$ sont perpendiculaires à la base $ABC$. En particulier, $AD\perp AB$ et $AD\perp$ (plan $ABC$).

Comme $AD$ est une droite du plan $(ABED)$ et que $AD\perp$ (plan $ABC$), le plan $(ABED)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.

L'arête commune (intersection) des deux plans est la droite $(AB)$.

Étape 3 – Identification de l'angle dièdre et choix du plan de mesure.

L'angle dièdre $\theta$ le long de l'arête $[BE]$ entre les plans $(BCFE)$ et $(ABED)$ se mesure dans un plan perpendiculaire à l'arête $[BE]$.

L'arête commune est la droite $(BE)$. Pour mesurer $\theta$, on doit choisir un point de $(BE)$, puis tracer dans chaque demi-plan la demi-droite perpendiculaire à $(BE)$ en ce point.

Prenons le point $B$. Dans le plan $(ABED)$, la demi-droite issue de $B$, perpendiculaire à $BE$, est $[BA)$ (car le prisme est droit, donc $BE\perp AB$). Dans le plan $(BCFE)$, la demi-droite issue de $B$, perpendiculaire à $BE$, est $[BC)$ (car $BE\perp BC$ puisque $BE$ est une arête latérale perpendiculaire à la base).

Donc l'angle dièdre $\theta$ est l'angle $\widehat{ABC}$, c'est-à-dire l'angle du triangle équilatéral $ABC$ en $B$.

Or dans un triangle équilatéral, chaque angle vaut $60°$.

Ainsi $\theta =60°$.

Étape 4 – Vérification par le calcul de la distance de $C$ au plan $(ABED)$.

Plaçons un repère orthonormé : $B$ à l'origine, $\overrightarrow{BA}$ selon $\vec{i}$, $\overrightarrow{BC}$ dans le plan de base, $\overrightarrow{BE}$ selon $\vec{k}$.

On a $A=(4,0,0)$, $B=(0,0,0)$, $C=(2,2\sqrt{3},0)$ (car $I$ milieu de $AB$ a coordonnées $(2,0,0)$ et $CI=2\sqrt{3}$ selon $\vec{j}$).

Le plan $(ABED)$ contient $A=(4,0,0)$, $B=(0,0,0)$, $E=(0,0,6)$. Ce plan est le plan $y=0$ (le plan $xOz$).

La distance de $C=(2,2\sqrt{3},0)$ au plan $y=0$ est donc $d(C,(ABED))=2\sqrt{3}$.

Étape 5 – Calcul de $\tan \theta$ par la projection de $C$.

La projection orthogonale de $C=(2,2\sqrt{3},0)$ sur le plan $(ABED)$ (plan $y=0$) est le point $C^{\prime }=(2,0,0)$, qui est le milieu $I$ de $[AB]$.

On a $B{C}^{\prime }=B{C}_x=2$ (distance de $B$ à $C^{\prime }$ dans le plan $ABED$) et $C{C}^{\prime }=2\sqrt{3}$.

L'angle dièdre correct $\theta$ est l'angle $\widehat{C^{\prime }BC}$ dans le plan perpendiculaire à $BE$ passant par $B$, soit :

Donc $\theta =\arctan (\sqrt{3})=60°$... ce qui semble confirmer le résultat de l'étape 3.

Remarque : Ce calcul confirme $\theta =60°$, en accord avec l'angle $\widehat{ABC}$ trouvé précédemment.

Étape 6 – Conclusion.

L'angle dièdre entre les plans $(BCFE)$ et $(ABED)$ le long de l'arête $[BE]$ est $\theta =60°$.

Ce résultat a été obtenu à l'étape 3 en mesurant l'angle $\widehat{ABC}$ du triangle équilatéral de base, et confirmé à l'étape 5 par le calcul de projection.