Géométrie dans l'espace 2BAC SM

Étape 1 — Vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

On calcule :

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,2-0,2-2)=(2,2,0),$$

$$\overrightarrow{AC}=C-A=(3-1,-2-0,2-2)=(2,-2,0).$$

Le produit vectoriel $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}$ se calcule par le déterminant formel :

$$\vec{n}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 2& 0\\ 2& -2& 0\end{array}\right|=\vec{i}(2\cdot 0-0\cdot (-2))-\vec{j}(2\cdot 0-0\cdot 2)+\vec{k}(2\cdot (-2)-2\cdot 2).$$

Soit $\vec{n}=\vec{i}(0)-\vec{j}(0)+\vec{k}(-4-4)=(0,0,-8).$

On peut prendre $\vec{n}=(0,0,1)$ comme vecteur normal (en divisant par $-8$).

Le plan $(ABC)$ passe par $A(1,0,2)$ et admet $\vec{n}=(0,0,1)$ comme normale, donc son équation est :

$$0(x-1)+0(y-0)+1(z-2)=0⟺z=2.$$

Étape 2 — $D\notin (ABC)$.

On vérifie si $D(1,0,5)$ vérifie l'équation $z=2$ :

$$z_D=5\ne 2.$$

Donc $D$ n'appartient pas au plan $(ABC)$. $■$

Étape 3 — Vecteur $\overrightarrow{AD}$ et conclusion sur la perpendicularité (ÉTAPE FAUSSE).

On calcule :

$$\overrightarrow{AD}=D-A=(1-1,0-0,5-2)=(0,0,3).$$

Vérifions l'orthogonalité de $\overrightarrow{AD}$ avec $\overrightarrow{AB}$ :

$$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=0\cdot 2+0\cdot 2+3\cdot 0=0.$$

Puisque $\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{AB}$ et que $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur du plan $(ABC)$, on conclut que la droite $(AD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.

Étape 4 — Distance de $D$ au plan $(ABC)$.

En admettant la conclusion de l'étape précédente, la droite $(AD)$ est perpendiculaire à $(ABC)$, donc $A$ est le pied de la perpendiculaire issue de $D$ sur $(ABC)$, c'est-à-dire $H=A$.

La distance de $D$ au plan est alors :

$$d(D,(ABC))=AD=\Vert \overrightarrow{AD}\Vert =\sqrt{0^2+0^2+3^2}=3.$$

On peut vérifier via la formule analytique : l'équation du plan est $z=2$, soit $z-2=0$, et

$$d(D,(ABC))=\frac{|z_D-2|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\frac{|5-2|}{1}=3.$$

Les deux méthodes concordent (ce résultat numérique est correct, mais la justification géométrique de l'étape 3 reste fausse).

Étape 5 — Pied de la perpendiculaire $H$.

La droite $(AD)$ est paramétrée par :

$$M(t)=A+t\overrightarrow{AD}=(1,0,2)+t(0,0,3)=(1,0,2+3t),t\in \mathbb{R}.$$

$H$ est l'intersection de cette droite avec le plan $z=2$ :

$$2+3t=2⟹t=0.$$

Donc $H=M(0)=(1,0,2)=A$.

Ainsi, le pied de la perpendiculaire est $H=A(1,0,2)$, et la distance $DH=3$.