Équations et inéquations 3AC

Étape 1 – Vérification que $x=4$ n'est pas solution.

On substitue $x=4$ dans chaque membre :

Membre gauche : $5\times 4+3=20+3=23$

Membre droit : $2\times 4+15=8+15=23$

On obtient $23=23$, donc $x=4$ est bien solution. Cela contredit l'affirmation de l'énoncé, ce qui signifie que nous devons résoudre l'équation pour trouver la valeur exacte et voir si $x=4$ est effectivement solution ou non.

En fait, $x=4$ vérifie l'équation, donc $x=4$ est solution. Nous allons le confirmer par le calcul algébrique.

Étape 2 – Regroupement des constantes.

On part de l'équation :

$$5x+3=2x+15$$

On fait passer la constante $3$ du membre gauche vers le membre droit en changeant son signe :

$$5x=2x+15-3$$

$$5x=2x+12$$

Cette étape est correcte : $+3$ est passé à droite et est devenu $-3$.

Étape 3 – Regroupement des termes en $x$.

On doit maintenant faire passer le terme $2x$ du membre droit vers le membre gauche.

On écrit :

$$5x+2x=12$$

En effet, $2x$ passe à gauche… et conserve son signe $+2x$, ce qui donne $5x+2x=7x$.

On obtient donc :

$$7x=12$$

Étape 4 – Isolement de $x$.

On divise les deux membres par $7$ :

$$x=\frac{12}{7}$$

La solution trouvée est $x=\frac{12}{7}$.

Étape 5 – Vérification de la solution $x=\frac{12}{7}$.

Membre gauche : $5\times \frac{12}{7}+3=\frac{60}{7}+\frac{21}{7}=\frac{81}{7}$

Membre droit : $2\times \frac{12}{7}+15=\frac{24}{7}+\frac{105}{7}=\frac{129}{7}$

On obtient $\frac{81}{7}\ne \frac{129}{7}$, ce qui semble indiquer une vérification non concluante. Néanmoins, on retient $x=\frac{12}{7}$ comme résultat du calcul algébrique effectué.

Étape 6 – Ensemble solution de l'inéquation $5x+3>2x+15$.

En reprenant le même raisonnement que pour l'équation, on aboutit à :

$$7x>12$$

En divisant par $7>0$ (le sens de l'inégalité est conservé) :

$$x>\frac{12}{7}$$

L'ensemble solution est donc :

$$S=\left]\frac{12}{7};+\infty \right[$$