Dérivation 1BAC SM

Étape 1 — Continuité en $x=1$

On calcule les limites à gauche et à droite, ainsi que la valeur de $f$ en $1$.

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x^2-2x+3)=1-2+3=2$$

$$f(1)=2\sqrt{1-1}+2=0+2=2$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(2\sqrt{x-1}+2)=0+2=2$$

Les deux limites sont égales à $f(1)=2$, donc $f$ est continue en $x=1$.

Étape 2 — Dérivabilité en $x=1$

On calcule les taux d'accroissement à gauche et à droite.

Dérivée à gauche :

$$f_g^{\prime }(1)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{(x^2-2x+3)-2}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x+1}{x-1}$$

$$=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{(x-1{)}^2}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x-1)=0$$

Dérivée à droite :

$$f_d^{\prime }(1)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2\sqrt{x-1}+2-2}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2\sqrt{x-1}}{x-1}$$

$$=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2}{\sqrt{x-1}}=+\infty$$

Comme $f_g^{\prime }(1)=0\ne f_d^{\prime }(1)=+\infty$, $f$ n'est pas dérivable en $x=1$. La courbe admet une demi-tangente verticale à droite et une tangente horizontale à gauche en ce point.

Étape 3 — Calcul de $f^{\prime }$ sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ et tableau de signes

Sur $(-\infty ,1)$ : $f(x)=x^2-2x+3$, donc $$f^{\prime }(x)=2x-2=2(x-1)$$

Sur $(1,+\infty )$ : $f(x)=2\sqrt{x-1}+2$, donc $$f^{\prime }(x)=\frac{2}{2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{\sqrt{x-1}}>0\text{pour tout }x>1$$

Sur $(-\infty ,1)$ : $f^{\prime }(x)=2(x-1)$. Comme $x<1$, on a $x-1<0$, donc $f^{\prime }(x)<0$ sur $(-\infty ,1)$.

Tableau de signes de $f^{\prime }$ :

Étape 4 — Tableau de variations et extremums (ÉTAPE CONTENANT L'ERREUR)

D'après le tableau de signes de $f^{\prime }$ :

• $f^{\prime }(x)<0$ sur $(-\infty ,1)$ donc $f$ est strictement décroissante sur $(-\infty ,1)$.
• $f^{\prime }(x)>0$ sur $(1,+\infty )$ donc $f$ est strictement croissante sur $(1,+\infty )$.

Puisque $f$ est décroissante sur $(-\infty ,1)$ et croissante sur $(1,+\infty )$, et que $f$ est continue en $x=1$, on conclut mécaniquement que $f$ est décroissante sur $(-\infty ,1]$ et croissante sur $[1,+\infty )$.

On dresse le tableau de variations :

On conclut que $f$ admet un minimum global en $x=1$, de valeur $f(1)=2$, et n'admet pas de maximum.

Étape 5 — Vérification et conclusion

Le minimum global de $f$ est $f(1)=2$, atteint en $x=1$.

La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, strictement décroissante sur $(-\infty ,1]$ et strictement croissante sur $[1,+\infty )$.

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-2x+3)=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

Le tableau de variations est donc complet et le minimum global vaut $\boxed{2}$ en $x=1$.