Dérivation 1BAC SM

Étape 1 — Simplification de $f(x)$.

On reconnaît un carré parfait : $$x^2-4x+4=(x-2{)}^2.$$ Donc $$f(x)=\sqrt{(x-2{)}^2}=|x-2|.$$ On obtient ainsi $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x-2& \text{si }x\ge 2,\\ 2-x& \text{si }x<2.\end{array}$$ Le domaine de définition est $D_f=\mathbb{R}$ puisque $(x-2{)}^2\ge 0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

Étape 2 — Dérivabilité de $f$ en $x_0=2$ par le taux d'accroissement.

On calcule le taux d'accroissement de $f$ en $x_0=2$ :

Pour $x>2$ : $$\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{(x-2)-0}{x-2}=1.$$ Donc $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=1.$

Pour $x<2$ : $$\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{(2-x)-0}{x-2}=\frac{-(x-2)}{x-2}=-1.$$ Donc $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=-1.$

Les deux limites sont différentes, donc $f$ n'est pas dérivable en $x_0=2$. La courbe de $f$ admet un point anguleux en $(2,0)$.

Étape 3 — Application de la formule $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$.

On pose $u(x)=x^2-4x+4$, de sorte que $f(x)=\sqrt{u(x)}$.

On calcule $u^{\prime }(x)=2x-4$.

La formule donne : $$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\frac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+4}}=\frac{2(x-2)}{2|x-2|}=\frac{x-2}{|x-2|}.$$

Cette expression est définie pour tout $x$ tel que $u(x)\ne 0$, c'est-à-dire $x\ne 2$. On conclut donc que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ tout entier, y compris en $x_0=2$, avec $f^{\prime }(2)=0$ obtenu par continuité de la formule.

Étape 4 — Comparaison et conclusion (basée sur le résultat de l'étape 3).

D'après l'étape 3, la formule $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ a fourni $f^{\prime }(x)=\frac{x-2}{|x-2|}$ définie sur $\mathbb{R}$, ce qui suggère que $f$ est dérivable partout, y compris en $x_0=2$.

On conclut (à tort) que le domaine de dérivabilité de $f$ est $\mathbb{R}$ tout entier, et que la courbe de $f$ n'admet pas de point anguleux.

On note que pour $x>2$, $f^{\prime }(x)=1$, et pour $x<2$, $f^{\prime }(x)=-1$, ce qui est cohérent avec la forme de $|x-2|$, mais la question de la dérivabilité en $x_0=2$ est considérée comme résolue par la formule.